5x=4yを満たすものが(x,y)=(4k,5k) (kはある整数)の他に存在しない事はどう示すので

5x=4yを満たすものが(x,y)=(4k,5k) (kはある整数)の他に存在しない事はどう示すのでしょうか？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/05 20:54

No.5 の言うとおり。

その条件下に...
5x = 4y = n と置くと、
n は 5 の倍数かつ 4 の倍数であるから、
5 と 4 の公倍数である。
5 と 4 の最小公倍数が 20 なので、
n = 20k (kは整数) と書ける。
5x = 4y = 20k を整理して、
x = 4k, y = 5k.

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2020/10/05 11:22

大前提に 「x, y は 整数」と云う条件がありますよね。

その条件が無いと、答えが出せません。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/05 10:06

x = 4k の時 y ≠5k ならば

5x=20k
4y≠20k
従って、5x≠4y
y = 5k の時 x ≠4k ならば
5x≠20k
4y=20k
従って、5x≠4y

No.3 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/10/05 08:05

5x=4y を比例式にすると、

x/4=y/5
x/4=y/5のとき、=k とおくと　x=4k、y=5k

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/10/05 05:54

x,yが整数でなければ

(x,y)=(2,5/2)
とすると
5x=5*2=10=4*5/2=4y
だから
(x,y)=(2,5/2)は5x=4yを満たすけれども
(x,y)=(4k,5k)となる整数kが存在すると仮定すると
k=x/4=2/4=1/2は整数でない
k=y/5=5/2/5=1/2は整数でないから
(2,5/2)=(4k,5k)となる整数kは存在しないから
5x=4yを満たすものが(x,y)=(4k,5k)(kはある整数)の他に
(x,y)=(4k,5k)(kは整数でない)となるものが存在する

x,yが整数の場合
5x=4y
とすると
右辺が4の整数倍だから左辺も4の整数倍で
5と4は互いに素だから
xは4の整数倍となるから
x=4k
となる整数kがあるからこれを5x=4yに代入すると
5(4k)=4y
↓両辺を4で割ると
5k=y
∴
(x,y)=(4k,5k)となる整数kがある

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/10/05 05:30

４ｙは４の倍数です。

５ｘ＝４ｙと表されるということは、５ｘは４の倍数です。
５と４は互いに素なので、ｘが４の倍数ということになります。
よって、ｘ＝４ｋと表すことができます。
４ｋ以外に存在するとすれば、４ｋ+1、４ｋ+2、４ｋ+3のいずれかですが、
ｘは4の倍数なので、そのようなものは存在しません。
ｙ＝５ｋについても同様です。