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5x=4yを満たすものが(x,y)=(4k,5k) (kはある整数)の他に存在しない事はどう示すのでしょうか?

A 回答 (6件)

No.5 の言うとおり。

その条件下に...
5x = 4y = n と置くと、
n は 5 の倍数かつ 4 の倍数であるから、
5 と 4 の公倍数である。
5 と 4 の最小公倍数が 20 なので、
n = 20k (kは整数) と書ける。
5x = 4y = 20k を整理して、
x = 4k, y = 5k.
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大前提に 「x, y は 整数」と云う条件がありますよね。


その条件が無いと、答えが出せません。
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x = 4k の時 y ≠5k ならば


5x=20k
4y≠20k
従って、5x≠4y
y = 5k の時 x ≠4k ならば
5x≠20k
4y=20k
従って、5x≠4y
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5x=4y を比例式にすると、


x/4=y/5
x/4=y/5のとき、=k とおくと x=4k、y=5k
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x,yが整数でなければ


(x,y)=(2,5/2)
とすると
5x=5*2=10=4*5/2=4y
だから
(x,y)=(2,5/2)は5x=4yを満たすけれども
(x,y)=(4k,5k)となる整数kが存在すると仮定すると
k=x/4=2/4=1/2は整数でない
k=y/5=5/2/5=1/2は整数でないから
(2,5/2)=(4k,5k)となる整数kは存在しないから
5x=4yを満たすものが(x,y)=(4k,5k)(kはある整数)の他に
(x,y)=(4k,5k)(kは整数でない)となるものが存在する

x,yが整数の場合
5x=4y
とすると
右辺が4の整数倍だから左辺も4の整数倍で
5と4は互いに素だから
xは4の整数倍となるから
x=4k
となる整数kがあるからこれを5x=4yに代入すると
5(4k)=4y
↓両辺を4で割ると
5k=y

(x,y)=(4k,5k)となる整数kがある
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4yは4の倍数です。


5x=4yと表されるということは、5xは4の倍数です。
5と4は互いに素なので、xが4の倍数ということになります。
よって、x=4kと表すことができます。
4k以外に存在するとすれば、4k+1、4k+2、4k+3のいずれかですが、
xは4の倍数なので、そのようなものは存在しません。
y=5kについても同様です。
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