つぎの不定積分を求めよ 1. 1/(x^2−2x+1) (平方完成する) 2. 1/(x^2+3)

つぎの不定積分を求めよ
1. 1/(x^2−2x+1)
(平方完成する)
2. 1/(x^2+3)
(tan^−1を使う)
3. 1/(x^2−4x+3)
(部分分数展開)
4. 1/(x^2−2x+2)
(平方完成してtan^−1)

こちらの問題を教えてください。
お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/08 18:06

１．

言われたとおりに分母を平方完成すると、
ベキ関数の積分になる。

2.
1/(x^2 + 3) = (1/3)/{ 1 + (x/√3)^2 } と変形すれば、
∫{ 1/(1 + t^2) } dt = tan^-1 t が使える。
y = x/√3 で置換積分。

3.
言われたとおりに部分分数分解すると、
1/(x^2 - 4x + 3) = (1/2)/(x - 3) - (1/2)/(x - 1) となって
∫{ 1/t }dt = log t が使える。

4.
言われたとおりに分母を平方完成すると、
1/(x^2 - 2x + 2) = 1/{ 1 + (x - 1)^2 } となって
2. の手法が使えるようになる。
y = x - 1 で置換積分。

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/06 19:28

1. ∫dx/(x-1)^2

u = x-1とすればdu = dx
∴ ∫du/u^2 = ∫(u^(-2))*du
あとはそのまま計算すれば良い。

2. (arctan(x))' = 1/(x^2+1)を利用する。

3. 1/(x^2−4x+3) = 1/((x-3)*(x-1)) = 1/(2*(x-3)) - 1/(2*(x-1))まで変形して積分する。

4. 1/(x^2−2x+2) = 1/((x-1)^2+1)
u = x-1として計算する。基本的な考え方は2.と同じ。