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Gを<a>(aによって生成される位数nの有限巡回群)とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)加法群ZからGへの写像fをf(m):=a^m
と定める。このときfは全準同型写像となることを示せ。
(2)Kerfを求めよ。
(3)Z/nZとGが同型となることを示せ。

この問題で有限巡回群が全準同型写像となることをどうやって示すのか考えたのですが、その前に準同型定理がまったく分からないのでどうしたらいいのか悩んでいます。なので核も解けず分からないので、どなたか教えてくださると助かります!

「Gを<a>(aによって生成される位数nの」の質問画像

A 回答 (1件)

(1)


「全準同型写像」って何や?
準同型のことか? 全射準同型のことか?
添付ファイルで、そこんとこ削ってあるやないか。 わざとか?

準同型であること:
任意の整数 x, y について、f(x+y) = a^(x+y) = (a^x)(a^y) = f(x)f(y).

全射であること:
G = <a> なので、G の元は 0 または自然数 r よって a^r と表される。
すなわち、 G の任意の元 a^r について r ∈ Z かつ f(r) = a^r.

(2)
G の単位元は a^0. よって Ker f は f(x) = a^0 となる整数 x の集合。
f(x) = a^x = a^0 を解いて、 x = nk, {kは整数}.

(3)
準同型定理がわからないなら、本を読めや。
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