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ある選挙区で議員選挙が行われた。立候補者はA、Bの2名で、そのうち1名だけが当選する。全投票数は100万票以上で、それらの票は全て有効とする。
投票締め切り後に、最初の1万票が開票された時点で、Aが「当選確実」と判定されるために必要な最低の得票数は、およそ5117票であるそうですが、その理由が分かりません。どなたか教えて下さいませんか。
ただし、開票された1万票は無作為に抽出されたものとする。また、「当選確実」の判定にあたっては、投票された全ての票に対するAの得票率をpとしたとき、無作為に抽出されたn票(nは全投票数より小さい正の整数)に対するAの得票率が平均p、分散p(1-p)/nの正規分布に従うものとして、帰無仮説をp=0.5、対立仮説をp>0.5とし、有意水準1%の片側検定により帰無仮説が棄却されたときに「当選確実」と判定されるものとする。
また、標準正規分布の分布関数
φ(x)={1/√(2π)}∫_[-∞]^[x] e^(-(y^2)/2) dy
に対して、Ψ(x)=1-φ(x)の逆関数u(x)の近似値としては、以下の値を用いよ。
u(0.005)= 2.576,u(0.01)= 2.326,u(0.02)= 2.054

gooドクター

A 回答 (2件)

日本の有権者数千万人の「内閣支持率」などの世論調査は何人ぐらい回答している知っていますか?


1500~2000人ぐらいです。

問題の場合には、得票率が p とすれば、n 票のうち、得票数が r 票である確率は、二項分布するので
 P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)

二項分布は、nが大きいときには正規分布で近似できて
 平均値:np
 分散 :np(1 - p)
になります。

つまり、帰無仮説をp=0.5、1万票をとってくれば
 平均値:np = 5000
 分散 :np(1 - p) = 2500
より標準偏差は
 σ = 50
になります。
つまり、得票数は N(5000, 50^2) に従うということ。

正規分布表で片側 1% となる値は、
 u(0.01)= 2.326
を使って、確率 1% 未満である得票数は
 5000 + 50 * 2.326 = 5116.3
従って、5117票以上となる確率は 1% 未満ということであり、有意水準 1% の検定では「帰無仮説 p=0.5」は棄却される。
得票は「多い方」での議論なので、「帰無仮説 p=0.5」棄却されれば
 対立仮説 p > 0.5
が採択されることになる。

つまり、その候補者の得票率は信頼度 99% で p>0.5 であり、当選が確実ということになる。
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この回答へのお礼

とても丁寧に解説して下さいまして、ありがとうございました。分かりやすかったです。

お礼日時:2020/10/12 09:32

> 「当選確実」の判定にあたっては、投票された全ての票に対するAの得票率をpとしたとき、


> 無作為に抽出されたn票(nは全投票数より小さい正の整数)に対するAの得票率が
> 平均p、分散p(1-p)/nの正規分布に従うものとして、帰無仮説をp=0.5、対立仮説をp>0.5とし、
> 有意水準1%の片側検定により帰無仮説が棄却されたときに「当選確実」と判定されるものとする。

って書いてあるじゃないの。 ここまで具体的に手順が書いてあったら、
指定された手順どおりに検定がどちらの結論になるか計算するだけ
じゃない? やって、補足に書いてご覧よ。 答案にコメントはするから。
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この回答へのお礼

簡潔で分かりやすい解説感謝申し上げます。

お礼日時:2020/10/12 09:32

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