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大学数学

x∈Iに対してf(x)=lim[n→∞]f_n(x)を満たすfとする。
I=[0,1]とする。n:自然数として、f_n(x)=x^nとする。
||f_n-f||=sup[0≦x≦1] |f_n(x)-f(x)|→/0 (n→∞)となることを証明して頂きたいです。
(方針: x_n→/1 ,x_n→1をとり、|f_n(x_n) -f(x_n)|=a>0となるようにする。a<1)


→/は≠の=が→という意味で

A 回答 (1件)

lim x_n を考える必要はないのでは?



f(x) = { (0≦x<1 のとき) 0,
   { (x=1 のとき) 1.
をまず求めて、
sup[0≦x<1] |f_n(x) - f(x)| = sup[0≦x<1] x^n = 1,
|f_n(1) - f(1)| = 0
より
sup[0≦x<1] |f_n(x) - f(x)| = sup{ 1, 0 } = 1.

lim[n→∞] はとるまでもないが、
lim[n→∞] sup[0≦x≦1] |f_n(x) - f(x)| = lim[n→∞] 1 = 1 ≠ 0.
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