次の定積分を教えてください。 1.∫2→1 √(3x+1)dx 2.∫0→−2 (1/x^2+4)d

次の定積分を教えてください。
1.∫2→1 √(3x+1)dx
2.∫0→−2 (1/x^2+4)dx
3.∫3→2 (1/−x+1)dx
4.∫π/2→−π/2 cos^2xdx
5.∫−1/1 e^−2x dx

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/15 17:45

1.

∫{2→1} √(3x+1) dx = ∫{2→1} (3x+1)^(1/2) dx
= [ (1/3) (2/3)(3x+1)^(3/2) ]_{2→1}
= (2/9)( (3・1+1)^(3/2) - (3・2+1)^(3/2) )
= (16 - 14√7)/9.

2.
∫{0→-2} (1/x^2) + 4 dx = ∫{0→-2} x^-2 dx + 4∫{0→-2} dx
= [ -x^-1 ]_{0→-2} + 4[ x ]_{0→-2}
= ( -1/(-2) + 1/0 ) + 4( -2 - 0 )
これは発散。

それとも...
∫{0→-2} 1/(x^2 + 4) dx = (1/2)∫{0→-1} 1/(y^2 + 1) dy　； x = 2y
= (1/2)[ arctan y ]_{0→-1}
= (1/2)( -π/4 - 0 )
= -π/8.
のつもりだった？

3.
∫{3→2} (1/-x) + 1 dx = - ∫{3→2} 1/x dx + ∫{3→2} dx
= - [ log x ]_{3→2} + [ x ]_{3→2}
= - (log2 - log3) + (2 - 3)
= - 1 - log2 + log3.

あるいは、2.の状況を考慮すると
∫{3→2} 1/(- x + 1) dx = - ∫{3→2} 1/(x - 1) dx
= - [ log(x-1) ]_{3→2}
= - ( log1 - log2 )
= log2.
のつもりなのかも。

4.
∫{π/2→-π/2} cos^2 x dx = ∫{π/2→-π/2} (1/2)(cos(2x) + 1) dx
= (1/2)[ (1/2)sin(2x) + x ]_∫{π/2→-π/2}
= (1/2)( (0 - π/2) - (0 + π/2) )
= -π/2.

5.
∫-1/(1e^(-2x)) dx = - ∫e^(2x) dx
= -(1/2)e^(2x) + C　； Cは定数.
これだけ不定積分かな？

まさか、
∫(-1/1)e^(-2x) dx = - ∫e^(-2x) dx
= (1/2)e^(-2x) + C　； Cは定数.
って意味ではあるまい。

あるいは、
∫{-1→1} e^(-2x) dx
= [ -(1/2)e^(-2x) ]_{-1→1}
= -(1/2)e^(-2) + (1/2)e^2
= (e^4 - 1)/(2e^2).
とか言いたいのだろうか...