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次の微分 方程式の一般解の求め方で解説をお願いします。

(1)y'+y/x=e^(-2x)

(2)y'-xy=xy^3

A 回答 (3件)

(1)は定数変化法で解ける。


与式の斉次式を y' + y/x=0 とすると、
dy/dx = -y/x
∫(1/y) dy=-∫(1/x) dx
log|y|=-log|x| + log|C0|=log|C0/x|
y=C1/x ※C1=±e^log|C0|
C1がxで変化する関数u(x)とすると、
y=u(x)/x
y'=u'(x)/x - u(x)/x^2
u'(x)/x - u(x)/x^2 + u(x)/x^2=e^(-2x)
u'(x)/x=e^(-2x)
u'(x)=xe^(-2x)
u(x)=-(1/2)xe^(-2x) + (1/2)∫e^(-2x) dx
=-(1/2)xe^(-2x) - (1/4)e^(-2x) + C
y=-(1/2)e^(-2x) + (-(1/4)e^(-2x) + C)/x

(2)は変数分離法で解ける。
y'=xy+xy^3=x(y+y^3)
∫1/(y+y^3) dy=∫ x dx
∫(1/y)(1/(1+y^2)) dy=∫ x dx

y=tanθとすると、
y^2=(tanθ)^2
1+y^2=1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2

dy/dθ=1/(cosθ)^2
∫1/tanθ dθ=∫ x dx

∫cosθ/sinθ dθ=∫ x dx
∫(sinθ)'/sinθ dθ=∫ x dx
log|sinθ|=(1/2)x^2 + C0
2log|sinθ|=x^2 + C0
log|(sinθ)^2|=x^2 + C0
(sinθ)^2=Ce^(x^2) ※C=±e^(-C0)
1-(cosθ)^2=Ce^(x^2)
(cosθ)^2=1-Ce^(x^2)
1/(1+y^2)=1-Ce^(x^2)
1+y^2=1/(1-Ce^(x^2))

y^2=1/(1-Ce^(x^2)) - 1
=Ce^(x^2)/(1-Ce^(x^2))
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ここに頼っていいのかな?


こんな投稿も見つけましたよ↓

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/11958229.html
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解説を求めている「一般解の求め方」とは, どのようなものでしょうか.

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