証明があっているか確認したいです。 無限次元ベクトル空間Vの基底をSとする。 Sに整列可能定理によっ

証明があっているか確認したいです。
無限次元ベクトル空間Vの基底をSとする。
Sに整列可能定理によって順序を与え、
集合TnをSn={(s1,...,sn)∈S^n|s1,...,snは一次独立,s1<,...,<sn}とする。
この時、f:Sn∋s -> t∈Sをf(s)=s1+...+snとするとこれが単射であることを示します。
s,t∈Snについて、f(s)=f(t)であるとする。この時
s1+...+sn-(t1+...+tn)=0である。もし、t1がs1,...snのうちの２つ以上の和で表現されるとすると、鳩の巣原理からt2,...tnの中のいくつかの和が0となって一次独立であることに反する。よってsi-ti=0となってfが単射であることが示された。(もし異なる添字で一致したとすると仮定した大小関係に矛盾する)

わかりづらいとは思いますが、よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/18 21:13

No.3へのコメントについてです。

　ご質問の動機になった話の内容については、一切口出ししません。せっかくご自分で研究なさっているんですから、邪魔しちゃ本末転倒ですもんね。なので、以下、ご質問の内容の範囲に話を限ります。

　で、ご質問の解釈についてのコメントを拝見しまして、ずっこけちゃったす。
　Sは（まさかの、固定された）一つの基底ですか！ そして"+"ってのはV上の（普通の）足し算で、「一次独立」は（普通の）V上の話で、s1,...,snはどれもVの要素で、t∈Sとか書いてるのは「基底Sに属するベクトルたちの集合を改めてSと書くことにして、その要素t」という意味ですか。
　だとすると、

[1] s1+...+sn ∈S ということはない。もしそうなら、Sは基底にならないからです。実際、
> s1=-s2+t1+t2
> となって一次独立性に反します。
と仰るのは、このことでしょう？
　なので、f(s)の定義の
　　f:Sn∋s -> t∈S
ってのが、そもそも意味をなしていません。（f:Sn∋s -> t∈Vならともかく。）

[2] ところで、
> s1=-s2+t1+t2
とお書きだということは
　　s1 = s1+s2-s2 = -s2+s1+s2
だということであって、ならばもしかして、お考えのVにおいて”+”は可換なのではないですか？
　だとすると、全順序”>”を入れる必要なんかなく、Snなんてものも不要で、単にSの冪集合 2^S = { T | T⊂ S}を考えて、
　　F: T∈2^S → v∈V, v= F(T) = ΣT (ただしΣTとはTの要素の総和のこと)
とすれば一意的にv=F(T)が決まるでしょう。

[3] T∈2^S (すなわちT⊂S)となるTを一つ選ぶと、Tを基底とする(Vの)部分空間V(T)が決まる。もちろん
　t∈T ⇒ t∈V(T)
です。U⊂Sのとき、V(T)∩V(U)も(Vの)部分空間で、それは
　　V(T∩U) = V(T)∩V(U)
　　V(T∪U) = V(T)∪V(U)
である。さらに
　　t∈(T＼U) ⇒ t∉V(U) （T＼Uは差集合）
も自明でしょう。

[4] さて、ΣU∈V(U)は明らかです。そして、T＼U≠∅のとき、t∈(T＼U)はV(U)と直交する成分を含んでいるわけですから、ΣT∉V(U)は明らか。なのでFが2^S → Vの単射であることも明らかです。

この回答へのお礼

昨日は色々な質問に答えて頂きありがとうございました。表現したいことが実現できている素晴らしい関数でした。また頂いたコメントを参考により良い証明が書けるよう努めたいと思います

お礼日時：2020/10/19 09:21

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/18 15:22

No.1へのコメントについてです。

> どれも基底Sの元ですので、もしも全て異なるなら
> s1=-s2+t1+t2
> となって一次独立性に反します。

　うーむ…。s1とs2とt1とt2が互いに一次独立だという話はどこから出てきたのでしょう？（s1とs2は互いに一次独立で、t1とt2は互いに一次独立、ということしか仮定してないんじゃありませんか？）

　となると、ちょっと確認が必要かなと。えーと、ご質問に
> 基底をSとする
とか、コメントに
> どれも基底Sの元
とかお書きです。
　 で、文字通り SがVの一つの基底であって、sはSを構成する一つの基底ベクトルのことで、"+"はV上の演算だったりするのかな。いや、だったら(s1,....,sn)∈S^nってのはまるで意味をなさないし、「一時独立」だなんて条件を書く必要もないはずだし…いや、これはないなと。

　てことは、Sとは基底全体の集合
　　S = {t| tはVの基底}
のことであり、Snの元sは基底をn個並べたものであり、なのでs1ってのはそれ単独でVの基底（いわば「ベクトルの組」）なのでしょう。
　そして、（基底同士の「和」とか、基底同士が「一次独立だ」というのが一体どういう意味なのかは（知らんけど）気にしないことにして、ともあれ）
● "+"はS∪{0}上で群をなす。
　　0はその零元。
　　Sには逆元がある: すなわち
　　　　∀a(a∈S ⇒ ∃(-a)((-a)∈S ∧ a+(-a)=0 ∧ (-a)+a=0)
● Sに順序"<"を（選択公理まで持ち出して無理やり）導入したのは、おそらく"+"が非可換だから。
●a,b,c∈Sが「一次独立」⇒
　　(a+b+c ≠ 0 ∧ a+b-c ≠ 0 ∧ a-b+c≠ 0 ∧ … ∧ -a-b-c ≠0)
なのだろうな。

…ということでNo.1を書いたのですが、この憶測はまるで違ってるのかな？

この回答へのお礼

色々悩んで下さったようで申し訳ないです。もともとのモチベーションは雪江先生のガロア理論の本の97ページにあるK上のベクトル空間Vの基底の濃度が一定であるという証明を自分なりに理解しようと思ってのことです。

この本ではVの基底をSとして、nとv(=(v1,...,vn))を固定したBn,v={Σ(i=1,...n)aivi| ai∈K,i=1,2,...,n}
という集合について、∪((v1,...,vn)∈S^n) Bn,v
という集合の濃度がSの濃度以下であるというのを「Sが無限集合なので」の一言で済ませており、私には理解出来ませんでした。

そこで∪((v1,...,vn)∈S^n) Bn,v からSへの単射が作れないかと思って導入したのが上記の関数です。質問についてわからないことが有ればまたお願いします

お礼日時：2020/10/18 18:07

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/17 14:30

とりあえず、

s1,...,sn がベクトルなのかスカラーなのかはハッキリさせよう。
「 s1,...,sn は一次独立」と
「 s1<,...,<sn 」は、整合しないと思うけど。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/17 10:55

色々ややこしそうなんで、とりあえず n=2の場合

　　s1とs2はどっちもVの基底であって、互いに一次独立
　　t1とt2はどっちもVの基底であって、互いに一次独立
の時に
　　s1+s2=t1+t2 ⇒ (s1=t1 ∧ s2=t2)
だ、ということを説明して戴けませんか。（これなら鳩ノ巣原理は出る幕がないでしょうし、s1<s2, t1<t2かどうかも関係なさそうだし。）

この回答へのお礼

どれも基底Sの元ですので、もしも全て異なるなら
s1=-s2+t1+t2
となって一次独立性に反します。したがっていずれかが一致することになるのですが、s2とは違うのでt1かt2と一致します。

たしかに自分で書いていてもしっくりこないのですが、例を出すと、R[x]の基底S={1,x,x^2,...}において上のような基底の足し算を考えてみれば明らかだと思います。
良い言葉が出て来ず、納得させられるような説明ができなくて申し訳ないです

お礼日時：2020/10/18 11:41