ミクロ経済の問題です。詳しい方ご教授お願いします。

消費者Aは3つの財x,y,zの消費量(x,y,z ≧0)に対して選好を持っている。その選好を表現するであろう効用関数の候補が

u1(x,y,z)＝1/3logx + logz
u2(x,y,z)＝min{x+y , z}

で与えられるとする。3つの財の価格と所得は正の実数のみをとり、いまx,y,zの価格は(px,py,pz)＝(1,2,3)、所得は20であったとする。以下の問いに答えなさい。

1) 消費者Aの選好がu1で表現される時の、最適消費量(x *,y *,z *)を求めなさい
2) 消費者Aの選好がu2で表現される時の、最適消費量(x **,y **,z **)を求めなさい
3)u1とu2は同じ選好を表現しているか否か、理由とともに答えなさい
4)消費者Aの選好はu2で表現されることがわかった。消費者Bの選好が1/2u2で表現される時、消費者Aと消費者Bは同じ選好を持っていると言えるか否かを理由とともに答えなさい。

2)なのですが
min{x+y , z}より最適消費点の軌跡はx+ｙ＝ｚ
これを予算式
ｘ+2y+3z=20
に代入すると
４ｘ+５ｙ＝２０
ここからどうすればいいのかがわかりません。

ご教授お願いします。

質問者からの補足コメント

• お二方に質問です。min{x+y , z}より完全補完財は理解でいますが
  
  ｘとｙは完全代替財と判断したのは何故でしょうか？

    補足日時：2020/10/20 11:56

• では、（３）も同じであると言えますよね？

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/21 22:31

No.6 回答者： みくろem 回答日時： 2020/10/21 11:13

直感的な話をしてみましょう。

Kさんの効用はu=min{x+y,z}であるとします。
x財を｢A社の製造した砂糖｣、y財を｢B社の製造した砂糖｣、z財を｢コーヒー｣とします。A社、B社の砂糖は品質に差がなく価格だけ違うとしましょう。（px=1,py=2）

Kさんはコーヒーに砂糖を入れないと飲めないので砂糖（x,y）とコーヒー（z）は補完財の関係にあります。
しかし、xとyの品質に差がないので代替財の関係にあります。
xとyは同じ品質の財なのにわざわざ価格の高いyをKさんが買う動機がありませんよね？yを購入するとxとyの価格差（2円-1円=1円）だけ所得を無駄使いした事になります。
その1円をxとzに振り分けた方が効用が高くなるので結果yは購入せずにx（価格の安い砂糖）とz（コーヒー）を消費します。

消費者にとって効用を得るためにzは絶対必要ですが、xとyはどちらでも良いです。なのでxとyの安く済む方を選択し、その上でzとxの購入の割合を決めます。今回はy=0とした場合、効用最大化条件がx=zですので、1単位:1単位の割合で予算を消費に回します。

結論として、x,yとzは補完財の関係かつ、xとyは代替財の関係があるので、zを切り離すと言うよりzが存在してもxとyは代替財の関係にあるので問題ないと私は考えます。

納得いかない点があれば是非！
私の勉強にもなるので…笑

この回答へのお礼

なるほど、具体例を出すとわかりやすかったです。
いつも、ありがとうございます。

お礼日時：2020/10/21 19:59

No.5 回答者： みくろem 回答日時： 2020/10/20 22:29

素晴らしいと思います。

この回答へのお礼

すみません、もう一度考え直しました。
u=x+y
これは完全代替財ではあるのは理解できますが、
今回は３財のmin{x+y , z}です。
そのため、いきなりＺを切り離して、ｘ+ｙは完全代替として良いのでしょうか？

お礼日時：2020/10/21 10:28

No.4 回答者： みくろem 回答日時： 2020/10/20 20:26

u=x+y

これは完全代替財の効用関数です。
縦軸にy、横軸にxを取りグラフを書くと直線の無差別曲線が書けます。
直線の無差別曲線の場合は例えば、x=0だとしてもy=10だとすれば効用水準は10になりますよね？つまりx財はy財から得られる効用に影響を与えないと言えます。
（普段よく見るコブダグラス型効用関数u=xyだとx=0の時、例えy=100であっても効用水準は0です）
さらにxとyから得られる限界効用は逓減していないため端点解となります。
まとめると完全補完財はL字型の無差別曲線、完全代替財は直線の無差別曲線。そしてコブダグラス型効用関数はそのふたつの間の形（原点に対して凸の曲線）になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
まず、ｘ+ｙ＝ｚ…①
これを予算式に代入して
4x+5y=2０…②

そして
x+ｙが完全代替財であるため
傾きと比較してy=0…③
③を②に代入して
ｘ＝５
y=0
z=5
ということですか…
ありがとうございます。

お礼日時：2020/10/20 22:27

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/20 09:31

No2さんの答えが正解です。

xとｙは完全代替財なので、効用の点では1つの財のように振る舞いますが、価格がｘのほうがｙより安いので、効用を最大化する消費者の見地からはより価格の安い財であるｘを消費し、より高価なｙの消費は控えるのが最適です。

No.2 回答者： みくろem 回答日時： 2020/10/19 22:13

個人的な解釈を述べます。

u2=min{x+y,z}という効用関数はx+yとzの消費量の少ない方の値が個人の効用となります。（完全補完財）
x+yに注目して頂きたいのですが、この2つの財の関係は完全代替財にあります。完全代替財のは価格比と無差別曲線の傾きを比べて最適消費点を求めます。
今回の場合、y財は購入せずにx財を消費するため、y=0と言う答えになります。
後は4x+5y=20にy=0を代入してx=5,y=0,z=5が得られると思います。

（今回x財y財はどちらも限界効用が逓減していないので今回の方法で問題ないと思います。
関数の形が√x+√yとかになるとまた解き方が少し変わると思うのでご注意を…）

前の回答者様は4≦z≦5の範囲で解が無数にあると言われています。確かに数式だけを見れば無数にあるのですが「最適消費量を求めなさい｣という問題は｢効用が最大化される消費量を求めよ｣という意味なので、今回の効用関数を見ると最初に述べた様に、消費量の少ない方の値が個人の効用水準となるため、仮にx=0,y=4,z=4とした場合、効用は4です。逆にx=5,y=0,z=5の場合、効用は5です。後者の方が得られる効用は高いため、最適消費点はx=5,y=0,z=5と同じ答えになります。
整数の場合しか、書いていませんが少数の桁がある場合も同じ様に考えて頂ければ、この問題では5が最も高い効用である事が分かると思います。

私が間違っている可能性も十分あるので参考程度に…

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/19 13:20

x+y =z

4x+5y=20
を連立させてｘとｙをｚについて解くと
x=5z-20　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
y=20-4z (2)
を得る。ｘとｙはいずれも非負だから、
x =5z-20≧０⇒ｚ≧４
y=20-4z≧0⇒ｚ≦５
すなわち、４≦ｚ≦5
よって、4≦ｚ≦５を満たす任意のｚにたいしてｘとｙはそれぞれ(1)と(2)を満たす組ということになる。したがって、たとえば、ｚを整数値にかぎるなら、(x,y,z)=(0,4,4)と(x,y,z)=(5,0,5)の2組に限られる。もちろん、ｚを整数値にかぎる理由はないので、解は無数にある。