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二人のプレイヤーA,Bによる同時手番ゲームを考える。二人の戦略空間は等しく、Si=[0,a],(i=A,B)で与えられる。プレイヤーiが戦略(sA,sB)から得られる利得を

ui(sA,sB)={a-sj if si>sj
={1/2a-1/2sj if si=sj
={0 if si<sj
とする。ここでaは正の実数とする。
以下の問いに答えなさい。

1) (a/2,a/2)はナッシュ均衡か否かを理由とともに説明しなさい。
2) (a,a)はナッシュ均衡か否かを理由とともに説明しなさい。
3)支配戦略均衡は存在するかどうか答えなさい。存在する場合は支配戦略均衡を全て求めなさい。また存在しない場合は理由を説明しなさい。

こちらの問題なのですがまず、問題が何を言っているのか理解できません。
①<戦略空間は等しく、Si=[0,a],(i=A,B)で
と書かれていましたが、戦略空間が参考書にも掲載しておらず何を言っているのか理解できません。


② if si>sj
if si=sj
if si<sj
そして、このif以下は何を表しているのでしょうか?
混合戦略のように確率を表しているのでしょうか?

③ui(sA,sB)=と書かれているのに、片一方の利得しか書かれていないのは何故でしょうか?

わからないことだらけですが、ご教授お願いします。

質問者からの補足コメント

  • 自分で出来るところまで解いてみました。
    (1)はナッシュ均衡ではないです。
    何故なら、i=Aの時に
    Aはa/2からaに戦略を変更すると
    利得はa/4からa/2に上昇するためです。
    Bも同様。

    (2)はナッシュ均衡です。
    何故なら、、i=Aの時に
    Aはaからa/2に戦略を変更すると
    利得は変わらないためです。
    Bも同様

    ここまではできたのですが、
    (3)は全くどうすればいいかわかりません。
    ご教授お願いします。

      補足日時:2020/10/19 23:27
gooドクター

A 回答 (5件)

>(1)はナッシュ均衡ではないです。

何故なら、i=Aの時にAはa/2からaに戦略を変更すると利得はa/4からa/2に上昇するためです。Bも同様。

合ってます。

>(2)はナッシュ均衡です。何故なら、、i=Aの時にAはaからa/2に戦略を変更すると利得は変わらないためです。
Bも同様。

ナッシュ均衡であることは正しいが、理由がただしいか?プレイヤーAが自分だけsA=aからいかなる、ほかの戦略に離脱しても、利得が増えないことを言わないといけない。あなたはaからa/2に変更したときしかチェックしていないからだ!いま、プレイヤーAがsA=aから、sA<aに戦略を変更したとする。すると、プレイヤーAの利得は0=uA(a,a)=uA(sA,a)=0と、利得は増えない。同じことはプレイヤーBについてもいえる。よって、(a,a)はナッシュ均衡。


(3)支配戦略があるかどうか、あるならどの戦略か?まず、支配戦略とは、その戦略をとれば、相手がどんな戦略を選んでも、ほかの戦略をとるよりもより大きいか、少なくとも同じ利得が得られる戦略をいう。明らかに、プレイヤーiにとってsi=aが支配戦略だ。なぜなら、すべてのsjにたいして、ui(a,sj)=a-sj ≧si-sj=ui(si,sj)が成り立つ。等号が成り立つのはsj=aのとき、かつそのときにかぎる。もちろん、同じことは、プレイヤーjに対しても成り立ち、プレイヤーjにとってsj=aが支配戦略。よって、支配戦略があるときは、各プレイヤーは支配戦略を用いるので、(sA,sB)=(a,a)が支配戦略ナッシュ均衡。
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すみません、私も以前聞いたりもしたのでお答えします



難しく考えすぎてはいけません。

例えば、a=10として、自分と友人の2人で、0から10のうち好きな数字を言って大きい数字を言ったほうが勝ち!というゲームをします。

まあ、普通は合理的なプレイヤーであれば10を選択しますよね。
もし相手が俺は8!といえば、自分が10を選択していればその差10-8=2が自身の利得になるのです。

そう考えれば、(a/2,a/2)がナッシュ均衡でないことは一目瞭然です。
この場合(5,5)ですよね?

自分が5より大きく10より小さい任意の戦略をとれば得をします。
当然、10を選択すれば一番利得は大きくなります。

(10,10)は支配戦略均衡かつナッシュ均衡です。

まあ、書き方がややこしいですよね(笑)
多分私も本番の時間内には理解できなかったと思う
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2020/10/21 22:51

過去問聞きすぎでしょwww

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この回答へのお礼

聞いては駄目なのでしょうか??
答えがついておりませんので
わからなかったら調べて
それでもわからなかったら
ここでお聞きするしか手段がないのです…

お礼日時:2020/10/20 22:11

問題文で、質問したけど答えていない部分がある。

まず、答えてください!
利得関数の
ui(sA,sB)=1/2a-1/2sj if si=sj
の部分ですが、右辺は(1/2)a-(1/2)sjですか、それとも1/(2a)-1/(2sj)ですか?あなたの書き方ではどちらなのか、わかりません!
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この回答へのお礼

すみませんでした。
右辺は(1/2)a-(1/2)sjです

お礼日時:2020/10/20 12:03

①標準型(戦略型)ゲームとは、(1)プレイヤー集合、(2)戦略空間、(3)利得関数の3つからなるゲーム。

戦略空間とは、各プレイヤーの戦略がとる空間のこと、戦略集合ともいう。この問題の場合プレイヤーiの戦略siは0からaまでの実数値をとるということ。[0,a]は端の0とaを含む0からaまでの実数の線分を表している。ジャンケンゲームだったら、戦略空間は各プレイヤーとも{ぐう、ちょき、ぱあ}の3つからなる集合だ。


ui(sA,sB)=a-sj if si>sj
     =1/2a-1/2sj if si=sj
= 0 if si<sj
これはプレイヤーiの利得関数ui(・,・)は両プレイヤーAとBの戦略sAとsBに依存する関数で、関数の値はどうやって定まっているかというと、プレイヤーiの戦略の値siが相手プレイヤーjの戦略の値sjより大きかったら、プレイヤーiの利得ui(sA,sB)はa-sj(aから相手プレイヤーの戦略の値sjを差し引いた値)になるし、si=sj(プレイヤーiも相手プレイヤーjも同じ値の戦略を選んだときはプレイヤーiの利得ui(sA,sB)は1/2a-1/2sjの値(1/aから1/2sjを差し引いた値)をとり、そしてsi<sj(プレイヤーのiのとる戦略の値siが相手プレイヤーjのとる戦略の値sjより小さかったら、プレイヤーiの利得は0となる、ことを示している。なお、i=Aなら、j=Bだし、i=Bなら、j=Aとなるので、この利得関数の表し方ですべての場合をつくしていることなることに注意。なお、あなたの1/2a-1/2sjの書き方では(1/2)a-(1/2)sjなのか、1/(2a)-1/(2sj)なのか分からない!どちらか明確になるように表示してください!

③i=Aだとしてみましょう。このとき一番上の表現はuA(sA,sB)=a-sB、if sA>sBとなるが、あなた(Aとする)の選ぶ戦略が相手(B)の戦略より大きい値なら、あなたの選ぶ戦略いかんにかかわらず、利得はa-sB(aから相手の戦略の値を差し引いた値)になる、ということ。2番目、3番目についても同様。このことは、あなたの戦略sAにまったく依存しないわけではありません。1番目についていうと、sA>sBのときという限定がついています。そのときの利得の値が相手の戦略だけによって定まるa-sBになるということです。
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この回答へのお礼

戦略集合もそういう意味でしたか…
ありがとうございました。
本日中に問題を解いてみます。

お礼日時:2020/10/19 11:04

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