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D={(x,y)| y≧x≧0,x+y≦2}として
2重積分∬D (1+y)/(1+x) dxdy を求めて下さい。

∫[0→2]∫[y→-y+2] (1+y)/(1+x) dxdyとしたのですが、途中で解けませんでした。

質問者からの補足コメント

  • 一応、積分領域はこうなると思いました。

    「D={(x,y)| y≧x≧0,x+y≦」の補足画像1
      補足日時:2020/10/22 00:50

A 回答 (2件)

Dは(0,0), (0,2), (1,1)を結ぶ三角形となるため、積分領域はy≦x≦2-y, 0≦y≦2となる。



∬D (1+y)/(1+x) dxdy
=∫[0,2](∫[y,2-y](1+y)/(1+x) dx)dy
=∫[0,2]((1+y)log(1+x)[y,2-y])dy
=∫[0,2]((1+y)(log(3-y)-log(1+y)) dy
=(1+y)((3-y)log(3-y)-(1+y)log(1+y))[0,2] - ∫[0,2] (3-y)log(3-y)-(1+y)log(1+y) dy
=3(-3log3-3log3) - ((3-y)^2 log(3-y) - (1+y)^2 log(1+y))[0,2] + ∫[0,2] -(3-y)-(1+y) dy
=-18log3-9log3-9log3 + ∫[0,2] (-4) dy
=-36log3 - (4y)[0,2]
=-36log3 - 8
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具体的になにがどうなって「途中で解けませんでした」になったのか知らんけど, 少なくともそれは


積分範囲を間違えている
よ. 積分領域を図示できますか?
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