ルベーグ積分 φ:[0,1]→[0,1]を0≦x<1/2においてφ(x)=x,1/2≦x≦1において

ルベーグ積分

φ:[0,1]→[0,1]を0≦x<1/2においてφ(x)=x,1/2≦x≦1においてφ(x)=1-xと定義する。
φが|φ(x)-φ(y)|≦|x-y|を満たすとする。この時高木関数T(x)=Σ(n=1→∞) 1/(2^n)φ{(2^n)x}は全てのα∈(0,1)に対して、α次ヘルダー連続となることを詳しく証明して頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/10/23 15:09

関数φ(x)の定義域は[0,1]

だから
φ{(2^n)x}の定義域は0≦(2^n)x≦1
だから
関数
T(x)=Σ(n=1→∞) 1/(2^n)φ{(2^n)x}
の
定義域は
0≦x≦lim_{n→∞}1/(2^n)=0
だから
x=0

T(x)の定義域はx=0
だから
T(x)=T(0)=0