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出力波形V0の求め方を教えてください。
本には答えしかなくてどうやってこの答えになるのかわからないです。

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A 回答 (1件)

時定数は求まったのですね?



時定数とは、公式で値は求まりますが、その意味するところは、
・コンデンサーの電圧 Vc は、充電電荷が Q であれば、静電容量を C として
 Q = C*Vc   ①
と表わせる。
・充電電荷 Q とは、コンデンサーに流れ込む電流 Ic を、電流を流し始めてからその時間まで積分したものである。
 Q = ∫[0→T]Icdt
・逆にいえば、コンデンサーに流れ込む電流は、充電電荷 Q の時間変化、つまり「微分値」に等しいということです。つまり
 Ic = dQ/dt  ②
・②に、①を代入すれば、C は一定(定数)なので
 Ic = C*d(Vc)/dt  ③
ということになります。
・一方、この Ic は直流回路全体の電流でもありますから、抵抗での電圧降下は
 Vr = Ic * R  ④
ということになります。
・直列回路なので、
 Vi = Vr + Vc
が成り立ちます。
これを④も使って変形すれば
 Vc = Vi - Vr = Vi - Ic * R
・これに③を代入して
 Vc = Vi - (CR)d(Vc)/dt    ⑤

この微分方程式⑤を解いて、初期条件 t=0 のとき Vc=0 を適用すれば
 Vc = Vi[1 - e^(-t/CR)]    ⑥
になるはずです。
これは
 t=0 のとき Vc = 0
 t=CR つまり「時定数 CR」のとき Vc = Vi(1 - 1/e)
 t=2CR つまり「時定数 CR」の2倍のとき Vc = Vi(1 - 1/e^2) 
 t→∞ のとき Vc → Vi
という曲線です。
時定数は、「1/e になる時間」ということです。ここでは
 CR = 5*10^3 * 2*10^(-6) = 10 * 10^(-3) = 10 [ms]
になります。
(手書きの単位 [m/s] は何ですか?)

Vi が与えられた「方形波」の場合には、
・t=0~10 (ms) までは、Vo = Vc = 0 からスタートして増加
 (初めたくさん増加して、徐々に増加量が減ってくる)
・t=10 ms で Vo = 10(1 - 1/e) ≒ 6.32 [V] になる。

・t=10~ ms では、上に書いた「コンデンサーの充電」が、逆に「コンデンサーの放電」になります。
⑤の式で Vi=0 になるので
 Vc = -(CR)d(Vc)/dt
この微分方程式を解いて、t=10 ms のとき Vc = 6.32 [V] とすると
 Vc = 6.32*e^[-(t - 10)/CR]   ⑦
になります。
つまり、Vo = 6.32[V] から時間とともに電圧が低下します。
 (初めたくさん減少して、徐々に減少のしかたが小さくなってくる)
・t=10 ms で Vo = Vc ≒ 6.32 [V] からスタートして減少
・t=10 + CR = 20 (ms) では、Vo = Vc = 6.32 * (1/e) ≒ 2.32 [V]
・t=10 + 2CR = 30 (ms) では、Vo = Vc = 6.32 * (1/e^2) ≒ 0.86 [V]
・t→無限大で Vo → 0

グラフの形は下記のサイトなどの図を参考にしてください。

https://physnotes.jp/em/capacitor-char-dischar/
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