「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

任意の x = (x1, x2, x3) ∈ R3, y = (y1, y2, y3) ∈ R3 に対して

(1) (x_1^2+x_2^2+x_3^2 )(y_1^2+y_2^2+y_3^2 )≥(x_1 y_1+x_2y_2+x_3 y_3 )^2 となることを示せ
(2) √(x_1^2+x_2^2+x_3^2 )+√(y_1^2+y_2^2+y_3^2 )≥√((x_1+y_1 )^2+(x_2+y_2 )^2+(x_3+y_3 )^2 ) となることを示せ

この2問の解説を教えてほしいです。

A 回答 (3件)

(1) (x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)≧(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²



(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²
=x₁²y₁²+x₁²y₂²+x₁²y₃²+x₂²y₁²+x₂²y₂²+x₂²y₃²+x₃²y₁²+x₃²y₂²+x₃²y₃²-(x₁²y₁²+x₂²y₂²+x₃²y₃²+2x₁x₂y₁y₂+2x₂x₃y₂y₃+2x₁x₃y₁y₃)
=x₁²y₂²+x₁²y₃²+x₂²y₁²+x₂²y₃²+x₃²y₁²+x₃²y₂²-(2x₁x₂y₁y₂+2x₂x₃y₂y₃+2x₁x₃y₁y₃)
=(x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+x₂²y₁²)+(x₂²y₃²-2x₂x₃y₂y₃+x₃²y₂²)+(x₁²y₃²-2x₁x₃y₁y₃+x₃²y₁²)
=(x₁y₂-x₂y₁)²+(x₂y₃-x₃y₂)²+(x₁y₃-x₃y₁)²≧0

よって、
(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)≧(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²

等号が成立するのは、
x₁y₂-x₂y₁=x₂y₃-x₃y₂=x₁y₃-x₃y₁=0 のとき。

(2) √(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)≧√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}
両辺とも0以上なので、それぞれ2乗して差をとります。
{√(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)}²-[√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}]²
=(x₁²+x₂²+x₃²)+(y₁²+y₂²+y₃²)+2√(x₁²+x₂²+x₃²)√(y₁²+y₂²+y₃²)-{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}
=2√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(2x₁y₁+2x₂y₂+2x₃y₃)
=2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)]

x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃<0 のとき、
2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)]>0

x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃≧0 のとき、
2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)]
=2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-√(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²]≧0  【 (1)より 】

よって、
{√(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)}²≧[√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}]²

したがって、
√(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)≧√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}

等号が成立するのは、
x₁y₂-x₂y₁=x₂y₃-x₃y₂=x₁y₃-x₃y₁=0 のとき。
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問題の意味の解説をお求めかな?


 x, yはどちらも3次元ベクトルです。そして、| |をベクトルの長さ、・を内積として、
(1) は (|x||y|)^2 ≧ (x・y)^2 と書ける。内積を「xとyがなす角度」を使って表すと自明。
(2)は |x|+|y|≧ |x+y| と書ける。三角不等式「三角形の一辺は、他の2辺それぞれの長さの和より長い」ってやつです。
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何処が解らないのかを示せ。



お楽しみは、それからだッ!
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