No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1) (x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)≧(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²
(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²
=x₁²y₁²+x₁²y₂²+x₁²y₃²+x₂²y₁²+x₂²y₂²+x₂²y₃²+x₃²y₁²+x₃²y₂²+x₃²y₃²-(x₁²y₁²+x₂²y₂²+x₃²y₃²+2x₁x₂y₁y₂+2x₂x₃y₂y₃+2x₁x₃y₁y₃)
=x₁²y₂²+x₁²y₃²+x₂²y₁²+x₂²y₃²+x₃²y₁²+x₃²y₂²-(2x₁x₂y₁y₂+2x₂x₃y₂y₃+2x₁x₃y₁y₃)
=(x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+x₂²y₁²)+(x₂²y₃²-2x₂x₃y₂y₃+x₃²y₂²)+(x₁²y₃²-2x₁x₃y₁y₃+x₃²y₁²)
=(x₁y₂-x₂y₁)²+(x₂y₃-x₃y₂)²+(x₁y₃-x₃y₁)²≧0
よって、
(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)≧(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²
等号が成立するのは、
x₁y₂-x₂y₁=x₂y₃-x₃y₂=x₁y₃-x₃y₁=0 のとき。
(2) √(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)≧√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}
両辺とも0以上なので、それぞれ2乗して差をとります。
{√(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)}²-[√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}]²
=(x₁²+x₂²+x₃²)+(y₁²+y₂²+y₃²)+2√(x₁²+x₂²+x₃²)√(y₁²+y₂²+y₃²)-{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}
=2√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(2x₁y₁+2x₂y₂+2x₃y₃)
=2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)]
x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃<0 のとき、
2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)]>0
x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃≧0 のとき、
2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)]
=2[√{(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)}-√(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²]≧0 【 (1)より 】
よって、
{√(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)}²≧[√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}]²
したがって、
√(x₁²+x₂²+x₃²)+√(y₁²+y₂²+y₃²)≧√{(x₁+y₁)²+(x₂+y₂)²+(x₃+y₃)²}
等号が成立するのは、
x₁y₂-x₂y₁=x₂y₃-x₃y₂=x₁y₃-x₃y₁=0 のとき。
No.3
- 回答日時:
問題の意味の解説をお求めかな?
x, yはどちらも3次元ベクトルです。そして、| |をベクトルの長さ、・を内積として、
(1) は (|x||y|)^2 ≧ (x・y)^2 と書ける。内積を「xとyがなす角度」を使って表すと自明。
(2)は |x|+|y|≧ |x+y| と書ける。三角不等式「三角形の一辺は、他の2辺それぞれの長さの和より長い」ってやつです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学(ベクトル) 単位ベクトルの一次結合で一般の空間ベクトルは表せる という式なのですがなぜ 「x1 3 2023/04/10 01:24
- 数学 写真の図は中心(a,b)半径rの円とその円周上の(x1,y1)における接線lと円の中心とlを結ぶ任意 4 2023/08/08 16:20
- Excel(エクセル) Excelのセル上の日付の不具合 3 2022/05/22 18:20
- 数学 線形代数の対称行列についての問題がわからないです。 2 2023/01/08 14:59
- 数学 x1+3x2+2x3=4 2x1+x2-3x3=2 -5x1+5x2+18x3=a 次の連立1次方程 2 2023/07/02 03:15
- 数学 数学直線の方程式とベクトル方程式について 直線の方程式で 点(x1,y1)を通り、直線ax+by+c 1 2022/08/12 12:13
- C言語・C++・C# プログラム Arduino 1 2022/07/03 11:13
- SSL・HTTPS ルート証明書の有効期限がだいぶ前なのに時計が進んでいますと表示され今日になってみれなくなったサイト 1 2022/10/26 20:35
- Excel(エクセル) エクセルの数式で教えてください。 1 2023/06/15 14:11
- 数学 ハイネボレルの被覆定理、内田伏一著 「集合と位相」定理22.1 1 2022/07/07 10:49
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
「ノルム、絶対値、長さ」の違...
-
微積分の記号δ、d、Δ、∂の違い
-
「任意」ってどういう意味?
-
平面の交線の方程式
-
複素数の絶対値の性質について
-
n次元ベクトルの外積の定義
-
内積、外積の発想はどのように...
-
2つに直交する単位ベクトル
-
球面と直線の交点
-
一次独立だけど、基底にならな...
-
なぜ2乗するのか
-
座標系の奥(手前)方向の書き方
-
点Oから平面ABCへ下ろした垂線...
-
a1,a2, a3をベクトル空間Vのベ...
-
3次元空間にある2直線の再接...
-
外積の記号について 外積の記号...
-
3次元の平面上の点かどうかを...
-
2次元状に四点がありその中心を...
-
点が線分上にある条件について
-
グラスマン数について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報