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最大公約数についてお聞きします
画像は、n自然数として、n^2と2n+1が互いに素であることを示すものです。

解説では、負の数が出てこないようにするためか、2行目の式変形において2n^2ではなく、4n^2としていました。

しかし、負の数に対しても最大公約数は定義できるので、自分のやり方に間違いは無いと思いますが、合っていますか?

「最大公約数についてお聞きします 画像は、」の質問画像
gooドクター

A 回答 (3件)

まず #1 を訂正. 最後のやつは


gcd(n^2, 2n+1) = gcd(n^2, (n+1)^2) = [gcd(n, n+1)]^2
じゃないといけない. 結果として 1 になるので勘違いしてた.

で本題に入ると, 2 にしても 4 にしても 2n+1 と互いに素であることが書いてあればいいです.

採点は... どうするんだろ. 問題を作るときには「高校の学習指導要領の範囲で解ける」ことが求められるけど, 「その範囲で解かないといけない」ということを周知しない限り受験生には求められないような気もするな....
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
訂正もありがとうございます。
数学的に正しければ、採点に関しては心配ないでしょうから問題はありません。
ありがとうございました!

お礼日時:2020/10/29 00:56

ああ, 「互いに素なら掛けていいよ」というなら


1 = gcd(n, 2n+1) = gcd(n^2, 2n+1)
が一番簡単かな.
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「負の数を使う」ことについては, 「相手をどう想定するか」だと思う. 大学でこの手のことをやってる人間なら OK だけど, 「高校の教科書の範囲で」だとどうなんだろ.



ちなみにこれたぶん「結果的に OK」のパターンだと思う. 最初の
gcd(n^2, 2n+1) = gcd(2n^2, 2n+1)
のところはこの変形を許すために一言コメントがほしいし,
gcd(2n+1, -n) = ...
のところは -2n をからめず直接
gcd(2n+1, -n) = gcd(-n, 1)
に持ち込んだ方がいい.

あるいは
gcd(n^2, 2n+1) = gcd(n^2, (n+1)^2) = gcd(n, n+1) = 1
とか?
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この回答へのお礼

もちろん最初に2をかけるところは、補足として、(なぜならば、gcd(2,2n+1)=1であるから)
と書いておりますが、このサイトに写真を載せる時は画質が悪くなるので、見やすいように省きました。
これを書いても「結果的に」ですかね?

ご指摘の、gcd(2n+1,-n)はその通りでしたね。そのまま互除法の原理を適用すればよかったです。

高校の教科書では何故か知りませんが、互除法の説明では自然数に対してしか行っておりませんね。(ユークリッドの互除法の説明では、ともに正の数の公約数を調べないと、有限回の操作で最大公約数が求められるアルゴリズムってのを教えられないと思うので、自然数を仮定するのは分かりますが、互除法の原理(最大公約数の性質)自体の説明で自然数に限定しているのはよく分かりませんね。)

大学の先生は高校の範囲なんて作問のときを除いて完全に把握してるわけじゃないでしょうし、数学的に間違っていないなら減点はないでしょう。良かったです。

お礼日時:2020/10/28 09:23

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