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P ∩ -Q=∅のときP⊂Qと言えますか?また解答に書く時証明などつけなくていいでしょうか

質問者からの補足コメント

  • 解答よろしくお願いします

      補足日時:2020/11/02 10:32

A 回答 (4件)

成り立ちますよ。


P ⊂ Q の定義は ∀x,(x∈P)⇒(x∈Q) ですから、
P ∩ -Q = φ のとき x ∈ P ⇒ x ∈ Q を示せばよいです。
一般に P は P ∩ Q と P ∩ -Q の直和です。
  (P ∩ Q) ∪ (P ∩ -Q) = P,
  (P ∩ Q) ∩ (P ∩ -Q) = φ.
P の任意の元 x は P ∩ Q か P ∩ -Q の
どちらか一方だけに必ず属するので、
P ∩ -Q = φ である場合は P ∩ Q に属することになります。
x ∈ P ⇒ x ∈ (P ∩ Q) ⊂ Q なので、 P ⊂ Q です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2020/11/02 14:46

A = P ∩ Q


B = P ∩ -Q
C = -P ∩ Q
D = -P ∩ -Q
の4つの集合に分けて考えれば一目りょう然では?
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ごめん勘違い


P ∩ -Q=∅のときP⊂Q は成り立ちそうですね
証明は入れたほうが無難かも
場合分けして P⊂QのときのPと-Qの関係はどうであるか
P=Q(これもP⊂Qの一種)のときのPと-Qの関係はどうか
Q⊂PのときのPと-Qの関係はどうであるか
P∩Q≠∅の時(一部共通部分があるとき)はどうか
PとQが共通部分を持たないときはどうか
示してみては
これらから P ∩ -Q=∅⇔P⊂Q が示せるはず
(もっとも、P,Q、Uの要素が分かっているなら 証明は大した手間ではないのかもしれない)
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そもそも、教科書に基本事項として


A∩-A=∅ と載っているはずです
ですから、このことはきっと証明なしに用いてよいでしょう
これに絡めて ご質問のケースではA=P -A=-Qになっているということですね
すなわち A=Qで、
結局P=Qです
ということは P⊂QかつQ⊂P が成り立つということです
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この回答へのお礼

A∩ -A=∅とP ∩ -Q=∅は別の用法で代入するというのは無理があると思うのですが(前者は左右で補集合の関係ですが後者はそうとは限りません)

お礼日時:2020/11/02 11:31

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