数学に関する質問です。ご教授お願いします。

大学数学に関する質問です。
(a)関数fが凹関数であることと、凸関数であることの定義を書きなさい。
という問題が出ました。

私は、凹関数はヘッセ行列が０より小さい値を取り、凸関数はヘッセ行列が０より大きい値を
取ると書きましたが、これで良かったのでしょうか？

(b)関数f(x)=4x+５は凹関数であり、凸関数でもあることを示せ

関数f(x)=4x+５はヘッセ行列の値が常に０となるため凹関数であり、凸関数でもある
と書きました。
これで良かったのでしょうか？

ご教授お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/05 14:19

凸性は、2階微分可能でなくても定義されるから、

ヘッセ行列を使った判定法を定義にしてしまうのは
やや問題ありかもしれない。

(a)の「ヘッセ行列が０より小さい値を取り」は意味不明で、
ヘッセ行列が負定値であるとか、
ヘッセ行列を係数とする二次形式が０より小さい値を取るとか
書かなければ話が通じない。

(b)の「f(x)=4x+５はヘッセ行列の値が常に０となる」は、
f(x) のヘッセ行列が成分 0 を持つ 1×1 行列であるため
変なところで話が通じてしまっているが。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/05 14:04

(b) との関連から見て、

(a) も一変数でいいんじゃないの？
一変数の場合、

(広義)凹関数： 0<t<1 に対して f(t x+(1-t)y) ≧ t f(x) + (1-t)f(y),
狭義凹関数： 0<t<1 に対して f(t x+(1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y),
(広義)凸関数： 0<t<1 に対して f(t x+(1-t)y) ≦ t f(x) + (1-t)f(y),
狭義凸関数： 0<t<1 に対して f(t x+(1-t)y) < t f(x) + (1-t)f(y).

上記の定義に照らして、
f(x) = 4x+５ は (広義)凹関数かつ(広義)凸関数である。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
私は2変数で考えてしまいました。
ちなみに、
(b)は私の方法では○は貰えないでしょうか？

お礼日時：2020/11/05 14:07