負数*負数=正数 で 負数*正数=正数 である理由は

誠に初歩的質問ですが、中学以来の疑問です。疑問はタイトル通りです。

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/11/07 17:27

証明は以下のとおり。

一目瞭然で、何ら疑問を差し挟む余地はない。

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二つの実数a,bに対し、(-a)(-b)=abとなることを証明する。

まず、bの逆元(-b)が存在することから、

　b+(-b)=0

が成り立ち、これの両辺に左からaの逆元(-a)を掛けて、

　(-a){b+(-b)}=(-a)0

となる。次に、分配法則と0の性質（下記注）から、

　(-a)b+(-a)(-b)=0

となり、さらに、この式の両辺に左からabを加えると、

　ab+{(-a)b+(-a)(-b)}=ab+0

となる。ここで、和の結合法則と零元の性質から、

　{ab+(-a)b}+(-a)(-b)=ab

が成り立ち、分配法則を用いると、

　{a+(-a)}b+(-a)(-b)=ab

を得る。逆元(-a)の性質からa+(-a)=0となるため

　0b+(-a)(-b)=ab

となり、0の性質（下記注）から、

　0+(-a)(-b)=ab

が得られ、零元の性質から、

　(-a)(-b)=ab

が示された（証明終）。


注：
零元の存在及び性質により、
　0+0=0
である。この両辺に左から実数xを掛けると、
　x(0+0)=x0
であり、分配法則により、
　x0+x0=x0
となる。ここで、x0の逆元-x0が存在するから、右から加えると、
　x0+x0+(-x0)=x0+(-x0)
となり、和の結合法則により、
　x0+{x0+(-x0)}=x0+(-x0)
である。逆元の性質を適用すると、両辺にあるx0+(-x0)=0であるから
　x0+0=0
となり、零元の性質を適用することにより、
　x0=0
である。

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No.5 回答者： head1192 回答日時： 2020/11/07 19:20

背景が深いので、今は

「×（－１）は、符号を逆転させる能力がある」
と覚えるのが良い。

これを虚数まで拡張したのがガウス平面で、この中では、
・－１をかけると原点を軸に座標が１８０度回転し
・ｉをかけると原点を軸に座標が９０度回転する
という性質がある。

No.4 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2020/11/07 17:42

本人の解釈次第

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/07 17:03

負数*正数=負数だろうに。

数学は形式科学だから、形式を変形して行く
[*は×の意味]

1×a=a、-1×a=-aと書くから
(-a)*(-b)=(-1*a)(-1*b)

掛け算は交換法則・結合法則が成り立つ、と決めてるから
交換法則より
(-1*a)(-1*b)=(-1)*(-1)*(a*b)
結合法則より
(-1)*(-1)*(a*b)={(-1)*(-1)}*(a*b)　①

-1の定義より、１＋(-1)=0

両辺に(-1)を掛けると
(-1)*{１＋(-1)}=0

{}を開くと、(-1)＋(-1)*(-1)=0
両辺に1を足すと(-1)+1＋(-1)*(-1)=0+1
(-1)+1=0だから、(-1)*(-1)=1

上の①に(-1)*(-1)=1を適用すると
(-1)*(-1)*(a*b)={(-1)*(-1)}*(a*b)=1*(a*b)=a*b

∴(-a)*(-b)=a*b

負数*正数=正数は省略

チャントした証明は大学生になってから。
形式変形だから、それまでは覚えれば良い。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/11/07 16:15

負数*負数=(負数)²＝正数

負数*正数=負数*(負数)²＝(負数)³＝正数なら
負数*負数*正数=(負数)²*正数＝正数*正数=正数
負数*負数*負数*正数＝(負数)³*正数＝正数*正数=正数となるから。