5の30乗は何桁の数か。ただし、log10の2=0.3010とする。 どなたか分かる方解説までよろし

5の30乗は何桁の数か。ただし、log10の2=0.3010とする。
どなたか分かる方解説までよろしくお願い致します。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/11/11 00:15

1000　←　4桁の整数

log1000=log10^3=3　∴　常用対数を取って3以上なら4桁になる

従って
5^30　の桁数を求めるにはこれの常用対数をとり、値を求めれば良い
log(5^30)＝30･log(10/2)=30･(log10-log2)
=30･(1-0.3010)=30×0.6990=20.97
答え　21桁

計算は四則演算で出来る簡単な計算です。
試験ではもう少し捻った問題が出るかもしれないです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/11/11 00:25

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/11 00:22

5^30 = N としましょう。

この N が何桁の数か、という問題です。

この両辺の常用対数をとれば

　log[10](5^30) = log[10](N)　　　①

この左辺は
　log[10](5^30) = 30log[10](5) = 30log[10](10/2)
= 30{log[10](10) - log[10](2)}
= 30{1 - log[10](2)}

ここに与えられた log[10](2) = 0.3010 を使うと
　log[10](5^30)
= 30{1 - 0.3010}
= 20.97

これを①に代入すれば
　 log[10](N) = 20.92
従って
　N = 10^20.92
これにより
　10^20 < N < 10^21
ということであり、1<A<10 の数値を使って
　N = A × 10^20
と表わせることがわかる。

これにより N は「21桁の数」であることがわかる。

ここで注意を要するのは、たとえば
　5 × 10^3 = 5000
であって、「10^3 をかけている」ということは「4桁の数」ということです。
従って
　N = A × 10^20
ということは「21桁の数」ということです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/11/11 00:25