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(高校数学)
放物線y=(x-2)^2とx軸、y軸で囲まれた部分をy軸のまわりに一回転してできる立体の体積Vを求めよ。

この問題で放物線の式をx= の形に変形するとx=2±√yと2つでてきてしまうのですがこの場合はどうすればいいでしょうか。

「(高校数学) 放物線y=(x-2)^2と」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • ありがとうございます。
    置換積分で(x-2)^2=tとおいて解くことはできますか?
    tとおいてやっていたら途中で分からなくなってしまいました。。

      補足日時:2020/11/14 19:11
  • そういうことだったんですね、今理解できました!
    もう1か所だけ質問させてください。積分区間で『yが0→4のときxは2→0』のところでy=4のときx=2+√yではなくx=2-√yのほうに入れてると思うのですがここは±を考えないといけないものなのでしょうか?
    よろしくお願いします!

      補足日時:2020/11/14 23:02

A 回答 (6件)

yが0→4のときxは2→0


式だけで考えるなら
x=2+√yではなくx=2-√y から判断するもよしです
まあ、でも、置換するくらいの人はx=2±√y 云々なんていうことを考えるのが面倒な人だと思います。
そもそも該当するグラフの部分、すなわち点(2,0)~点(0,4)までの曲線部分
の回転体の体積を求めようとしているのだから
放物線グラフの該当部分を見ただけで
積分範囲の対応関係は
y|0→4
x|2→0
と判断がつくことでしょう
つまりは 正確なグラフが書けた時点でこのy,xの対応表がすでに分かってしまうのです
もし感が鈍くて判断がつかないひとでも
「x=2+√yではなくx=2-√y 」まで踏み込む必要はなくて
y=(x-2)²
これにy=0代入で
x=2
これにy=4で
x=0,4
グラフの該当部分の変域0≦x≦2内にあるのはx=0
このとから 先に示したyとxの対応関係はつかめるはずです
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この回答へのお礼

助かりました

そのように考えるんですね。
ありがとうございました!!

お礼日時:2020/11/15 12:50

なぜ わざわざtと置く必要があるのですか?



与えられた式 y=(x-2)² これだけを意識して
この式はyを(x-2)²と置いたという意味ですよね(ここでyの式からxの式への置換が行われたのです)

すでにこのような置換が行われたものとみなして
V=π∫[0→4]x²dy の式に移るのです

この式の見方は x²部分は本来yの式であったが置換によってすでにx²に置き換えたあとだとみなすのです
すると、残りのすべきことは 積分範囲の変更と dyを○○dxに変更することですよね
これらを行ったものが
=π∫[2,0]x²・2(x-2)dx 
です
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まあ、高校生の方が普通に解くなら


該当のグラフの範囲は 0≦x≦2,0≦y≦4の部分ですので
x=2+√y を採用すると
y=0では x=2
y=4では x=4でこれは2≦x≦4となってしまうので
該当しない部分のグラフの式であることがわかります

ゆえに、x=2-√y…① のほうを採用してあとは公式通り積分すればよいです
です(なんなら①は y=0からy=4を代入して 0≦x≦2
つかり題意にあった回転させる部分のグラフ であることを確かめてみてください)

ただ、積分の扱い方次第では計算量をへらし計算式自体も簡単なものにすることもできます
もとの式を置換積分の時の置き換え式だとみなしてあげると
y=(x-2)² とおいたということになりますから
dy=2(x-2)dx
積分範囲の対応関係は
y|0→4
x|2→0|
なので
V=π∫[0→4]x²dy
=π∫[2,0]x²・2(x-2)dx
=2π[(x⁴/4)-2x³/3]
=2π(-4+16/3)
=8π/3

このように、回転体の体積を求める場合は
置換積分を用いることが常套手段として参考書などに紹介されているかと思います
x=2±√y の計算が不要
±で迷うこともない
などなどの厄介ごと・余計な計算 を回避してあげることになるので
楽になるケースも多いようです
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V=∫[0→4]π(2-√(y))^2dy=(8/3)π



でも良いけど

ここはパップスギュルダンの方が楽。

面積S=∫[0→2](x-2)^2dx=8/3
重心xg=∫[0→2]x(x-2)^2dx/S=(4/3)/(8/3)=1/2

V=2πxgS=(8/3)π
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y軸回転体の体積は



π∫[0,4] x^2 dy

そのまま適用すると、確かに手間がかかる。

当たり前かもしれないけど、y軸回転なので、y軸回転体は対称の形になる。
なので、1回転ではなく1/2回転として、体積を2倍すると考えれば良い。
そうすれば、

=2π∫[0,4] 2+√y dy

だけ考えればよくなるため、計算が楽になる。
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図を見ればわかる通り、1つのyに対して2つのx座標が対応しますから、そう出てきます


図から、y軸とx軸とその曲線で囲まれる部分のその曲線の式は、x座標の小さい方なので、マイナスの方を採用します
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