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数学には限界があるのか?

例えば1個のケーキを3人で分ける為に、計算機で計算しても、割り切れません。

でも、ナイフで、何となく3等分にはできます。

このように、数学上では絶対に割り切れない場合があっても、現実は上手く行ってます。

  数学的に考えると永遠に終わらない結果を見て限界を感じました。


  数学の発明は、人類を飛躍的に進化させましたが、そもそも数学自体が完璧な理論ではないのでしょうか?

A 回答 (10件)

私は数学者ではないので、詳しく判らないのですが、数学で誤解されて受け取られている定理で、『ゲーデルの不完全性定理』というものがあります。


数学基礎論というある一分野で、数学の公理や論理に不完全な部分があるという定理です。

ご質問は、哲学者が数学に対して感じている事柄と多く重なっている部分があるように感じました。
↓のリンクは、Wikipediaの『ゲーデルの不完全性定理』です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC …

このページの『誤解(哲学等による誤解・誤用)』のところに、ご質問と似たような事柄で、
『人間の心は計算機(コンピュータ)ができないこともできる』
とあります。

これが 不完全性定理 の誤用されている例となっていますが、本当に誤用なのかどうかは、数学者でもなく哲学者でもない私には判断できません。
非常に高度な質問をされているので、明らかな回答はでないと考えます。

素人目に見て、数学全体を眺めても、未解決な難問がいくつも存在しておりご質問で指摘しているように、数学はまだ完全なものではないという考えには賛同します。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
リンクを拝見しましたが、難しすぎて途中で断念しました。

仰る通り、人間の心はデジタルでは無くアナログです。
いや、厳密には「0」と「1」が複雑に構成された超高度なデジタルかもしれませんが、このような割り切れない問題を前に人はそれほど時間を掛けずに解決したりします。

数学の発明はかなり画期的でしたが、更にもっと深い理論があると思われます。まぁ私も学者では無いので曖昧になりますが。

お礼日時:2020/11/19 19:09

こんにちは


 一生懸命深く考えておられますね。  次のようなアドバイスはいかがでしょう。
ポイントは、「確かに数学は完全ではないが、それはもっと深い話。今回の問題は特定の表現方法の限界ではあるが他の表現の方法はある」

  さて、1の大きさのケーキを3人で等分する場合の値が0.3333・・・となることについて、文字通り「割り切れなさ」を感じるのは当然と思います。 他方で、実際に等分できないわけではない・・・ということが直感的に理解できることからなおのこと不自然さを感じるかと思います。 そしてこの問題は、実は古代の賢者も悩まされた問題でもありました。
 しかしながら 一方、この問題は、実は単なる「表記法の限界」という問題でもあります。 たまたま、「十進法の少数点の表記法」を使おうとすると表現できないだけ。
 で、ここで登場するのが「分数の表記法」で、「1/3」と表記するときれいに表記できるだけでなく、その後の計算にも便利です。 ちょっとずるいようですが、この表記法によりきわめて多くの数値が単純に美しく表記できるようになりました。偉大な発明です。しかし・・・。
 
 ご存じかもしれませんが、「ピタゴラス学派」は古代の数学者集団で、数学が完全であるゆえにこれを神と崇めるいわば宗教団体でした。 その教義のひとつが、人間が無理だと思っていたあらゆる数字が[分数]を使えば表現できる・・・この美しさこそ神!
 ところが、これにも限界がありました。
単純な設問「二回掛けると2になる数字は何か」・・・
  今日では√2と表現される「1.41421356・・・」を何とかして分数で表現しようとした挙句、この値が分数では表現できない数であることを 証明してしまった信者が神を冒涜したとして殺されてしまった・・・との逸話もあります。
(真偽は疑わしいですが。なお、√2は、直角二等辺三角形の斜め部分の長さであり、これを導き出してしまうのが「ピタゴラスの定理」であることは 大きな皮肉ですね。なお、今日では分数で表現できない数値を「無理数」と呼びます)
 
 小数点から分数、ルートとべき乗、SIN/COS、さらには微分/積分など、数学の進歩とは、言い方を変えれば、「それまでの方法では うまく表現できないが数値や量としては必ず存在して定義できるものをうまく表現する方法の追加の歴史」でもあります。

  もちろん、数学にも限界があるようです。あまりに高度なので私も理解できていませんが、例えば懸賞金のかかった問題のひとつである P≠NP問題と呼ばれる問題は、暴言で言えば、「どんな表現を追加しても定義できない数はあるのか」という感じで、今回の質問者さんのご質問にも 通じつつ、とても高度で奥が深い問題のようです。  

さてさて、ご質問の趣旨にあっていたでしょうか。
お役に立てば幸いです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

とても詳しい解説感謝です^^

お礼日時:2020/11/22 15:42

「完璧な理論」と言う表現の意味合いによるかと。




例えば、小学校以来習って来た幾何学はユークリッド幾何学と言って「真っ直ぐな空間」を扱ったものですが、このユークリッド幾何学では「曲がった空間」を扱う事はできません。曲がった空間を扱うには非ユークリッド幾何学と言う別の幾何学が必要になります。


このように数学の理論にはその理論ごとの役割分担があるので、その理論一つだけで万能なものはありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
詳しい解説感謝。

お礼日時:2020/11/22 15:41

論理ゲームであり、且つ、出発点が定義&公準、つまり約束事が出発点ですから限界が有ります。



>>割り切れません
世の中の考え方や道具が10進法を元にして作られてるからです。
人間の指が6本とか3本だっから、世の中3進法で出来上がってるから、ピッタリ3で割り切れ、10では割り切れません。
尤も、10進法でも1/3ずつにぴったり割り切れます。

数そのものと、数の表現方法は別物なんです。

数学は不完全ですよ。
数学のどんな体系(分野)でも、その体系内では証明不可脳な命題が存在します(第一不完全性定理)。
また、数学に矛盾が無い事は、数学では証明出来ませんから(第二不完全性定理)。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
数学は不完全と聞いて納得しました。

お礼日時:2020/11/22 15:41

No,1です。


ロボットも大体3等分してくれると思います。それをプログラム用語で丸め処理とか端数処理とかいいます。

例えば有効少数まで処理して余りは3つ目のケーキに含めたり破棄したりします。
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この回答へのお礼

度々ありがとうございます。
そうなんですね。

お礼日時:2020/11/22 15:40

理解不能。

4等分しろといわれても何となくしか4つにしか切り分けられません。3等分しろといわれたら無理なので,適当に3つに切り分けるか,なんとなく1/3のケーキを切り出して,それを残りの上にのせてそれを定規にしてもう2個のケーキを切り出して,余った(余るように最初の1つを決める)ものを捨てるか,切る作業をしたひとがつまんで食べる。それが人がやることです。そして,それも数学です。余りを一人が食べて争いを回避したというだけ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

人間はその気になれば、定規やメジャーを持ち出して「等分」にすることも可能です。

では、AIロボットに同じ命令を下したとき、どう反応するか?
曖昧3等分をするのか? するにしても、そこまでに至る速度は人間と同じか否か?

お礼日時:2020/11/19 19:19

そのような限界を解決するのが、人間のあいまいさです。


お猿さんの世界では、上下関係が解決します。

なお、数学は理論を説明する手段(道具)の一つ、でしかありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
そうですね。

でもその曖昧な部分も実は数学以外の新しい理論で解決するのでは?と思ったりします。

例えば偶数は数学上では割り切れますが、それは数学上であって、実は奇数も別の全く新しい理論では割り切れる可能性が考えられます。

お礼日時:2020/11/19 19:04

実生活は、適当で良いんです!!

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2020/11/19 19:02

円周率と同じ



永遠性があるって事を 示してるだけだと思うが?

宇宙や生命も 永遠性があるって事を この世で知る為に・・
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
3等分だけでなく6等分、7等分、9等分も割り切れません。

これ、人間では曖昧等分で処理するのでスムーズに解くのですが、コンピューターにそれをやらせたらどうなるんでしょうね?

お礼日時:2020/11/19 19:02

>ナイフで、何となく3等分にはできます。



何となくで良いのなら数学にも≒があるじゃないか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
実際にコンピューター(AI)ではどういう処理を下すのでしょうかね。
AIロボットの前にホールのケーキを出し、3等分してくださいという命令を下したときに、ロボットはどういう反応をするのでしょうかね?

お礼日時:2020/11/19 19:00

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