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書き方がわからないです
なんで写真の範囲が、y=cos3θのグラフなのでしょうか?

「三角関数 y=cos3θのグラフの書き方」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    3分の1に縮小したらしいのですが、そこからがよく分かりません

      補足日時:2020/11/19 23:18
gooドクター

A 回答 (6件)

長文になりますが前半は機械的な解法になります


後半で理屈を説明します

まあいろいろ考え方はあるが、理解がおいつかないというなら

①実線グラフは グラフの山がy軸上(点(0,1))にありますから
これはcosグラフの特徴ですよね
そこで、実践グラフはy=cos(●θ) ・・・Aだと仮定する。
②グラフの特徴点を読み取る
グラフの山は θ=0のときでそのときのy座標は1
A式に代入→1=cos(●0)
横軸との最初の交点は θ=π/6 この時y=0
Aに代入→0=cos(●π/6)
グラフの谷は θ=π/3 y=-1
Aに代入→ -1=cos(●π/3)
次の横軸との交点は θ=π/2 この時y=0
Aに代入→0=cos(●π/2)
➂基本形 y=cosθの様子も確認
基本グラフ y=cosθ・・・B では
グラフの山は θ=0のときでそのときのy座標は1
B式に代入→1=cos0
横軸との最初の交点は θ=π/2 この時y=0
B代入→0=cos(π/2)
グラフの谷は θ=π y=-1
B代入→ -1=cosπ
次の横軸との交点は θ=3π/2 この時y=0
Aに代入→0=cos(3π/2)
④グラフの「山」で比較してみる
実践グラフは、1=cos(●0)、
基本グラフは、1=cos0 
→矛盾はないが●は決定できない
⑤最初の横軸との交点で比較
実線グラフは0=cos(●π/6)
基本グラフは0=cos(π/2)
cosの中身同士の比較で(●π/6)=(π/2)
●=3
これで、答え(●の値)は出ました!
谷などで比較してみてもおなじ結果を得ます

ゆえに実線グラフは y=cos(●θ)=cos3θと求めることができます



※※※ cos3θの意味について!
お気づきかもしれませんが、実線グラフ上の各点のθ座標を3倍すると
基本グラフ(y=cosθ)上の点と一致します
たとえば 実線グラフ上の谷である点は(π/3,-1)は 
θ座標を3倍すると(π,-1)になりますが、
3倍後の座標(π,-1)は基本形y=cosθの谷になっているのです
このことから 実践グラフをよこだけ3倍に拡大(コピー)すると
基本グラフになるということが言えます
逆を言えば、基本グラフを横に1/3倍に縮小(コピー)すれば実線グラフになるということです

で、実践グラフの座標と基本式y=cosθを何とか結び付けること考えるわけです
実線グラフ上の点(例えば谷:(π/3,-1))をそのままy=cosθに代入したのでは
-1=cos(π/3)となって これではイコールが成り立っていません
そこで、cosの中身を3倍してあげます
-1=cos3(π/3) というように
これなら 右辺=cosπ=-1ですから イコールが成り立ちますよね

別の点でも同じこと
例えば、実線グラフの横軸との最初の交点は (π/6 ,0)
これをそのまま基本式に当てはめると
0=cos(π/6)で矛盾
矛盾解消のためにcosの中身を3倍して
0=cosθ3(π/6)
これならイコールが成り立っているというわけです

結局 cos3θの3には
実践グラフ上の各点のθ座標を、基本グラフの位置に補正しているという意味があるのです
ゆえに、機械的に実線グラフのθ座標を横方向へ●倍すれば基本の位置に補正できる
ということさえ把握すれば
y=cos(●θ)の●が分かって実線グラフの式が書けてしまうのです!
※●倍で基本位置へ補正できるということを把握することが重要なポイント!

冒頭の比較でも、●の値を計算しましたが
これは●倍補正について ●に当てはまる数値を調べていたということなのです

(ちなみに、今回のように実線グラフが基本グラフを横に1/3倍したものなら
実線グラフのθ座標を3倍すれば基本の位置に補正できますから
θに掛け算するべきは3となりますが
仮に実線グラフが基本グラフを横に2倍したものであるなら 実線グラフ上の各点を基本グラフの位置に補正するためは
1/2倍することが必要なので
式としてはθに(1/2)倍で
破線グラフ:y=cos(θ/2)となります)
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y=x と y=3x もしくは y=x^2 と y=3x^2


なら、元の関数、y=x や y=x^2 に対して、3という係数が付くことで、yの値が3倍の値になります。

三角関数の場合、横軸をθ(xでも同じ)とすると、θについた係数に応じて周期が変化します。
周期2πの cosθ → cos3θ になると周期が 2π/3 と3倍になります。
θに付いている係数分、周期が早くなります。
写真の図は、点線が元の cosθ 実線が cos3θ を示します。

三角関数の θに係数が付いた時、
No.1さん、No.2さん 私の例、他にも色々イメージの仕方があるのですが、貴方自身が納得できるイメージの仕方を幾つも見つけてみる必要があります。
三角関数 周期 等のキーワードで検索すると色々解説が他にも出てきます。

周期や振幅は三角関数では基本事項になるので、理解を落とすことはできない部分になります。
頑張って下さい。
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y = cosθ のグラフを、θ 方向に 1/3 にするんやから、


普通に y = cosθ のグラフを普通に書いた後、
θ軸上に書き込んでた数値を皆 1/3 にしたらええんやで。
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y=cosθのグラフをヨコ方向に1/3に縮めた図になってるんですよ。



θが0のとき、グラフはcos(3×0)=cos(0)と同じ1になってる。
θがπ/6のとき、グラフはcos(3×π/6)=cos(π/2)と同じ0になってる。
θがπ/3のとき、グラフはcos(3×π/3)=cos(π)と同じ-1になってる。
θがπ/2のとき、グラフはcos(3×π/2)=cos(3π/2)と同じ0になってる。
θが2π/3のとき、グラフはcos(3×2π/3)=cos(2π)と同じ1になってる。
を確認なされよ。

ついでながら一般に、
y=f(x/a)のグラフは「y=f(x)のグラフをヨコにa倍に伸ばしたもの」ですし、
y/b=f(x)のグラフは「y=f(x)のグラフをタテにb倍に伸ばしたもの」ですし、
y=f(x-c)のグラフは「y=f(x)のグラフを右にc平行移動したもの」ですし、
y-d=f(x)のグラフは「y=f(x)のグラフを上にd平行移動したもの」です。

なので y=cosθのグラフを右にπ/2平行移動したものは、y=cos(θ-π/2)= sinθのグラフ。
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色々な言葉があって難しく捉えがちですが、僕なら「3倍だけ角が早く進むようになったから元の波形の1つの山に、3つの小さい山が入らない

といけないなー」って考えます
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円は2πで一周するのはご存知だと思いますが、角が3倍になることでより早く2πにたどり着きます。

なのでcosθよりも波長が短くなるわけです。
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