対数の足し算が掛け算、引き算が割り算になる理由を教えてください。 (対数を独学で勉強中の中学生です。

対数の足し算が掛け算、引き算が割り算になる理由を教えてください。
(対数を独学で勉強中の中学生です。)

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/22 22:49

完璧に理解するのは中学の数学では無理じゃないかと思います。

（高校数学でもちょっと怪しいんじゃないかなー。）

　ですが、概要は理解できると思います。

[1] TをT>0, T≠1を満たす定数だとします。
底がTの対数関数log_T(x)とは、指数関数 T^y （Tのy乗）の逆関数のこと。つまり
　　y = log_T(x)とは、T^y = x となるような yのこと
である。
[2] 指数関数 T^y は T>0の場合に定義してあって、
　　T^(a+b) = (T^a)(T^b)
　　(T^a)^b = T^(ab)
を「満たすようにしてある」。
[3] だから、
　　A= log_T(a), B=log_T(b)
とすると、
　　a = T^A, b = T^B
である。ここで
　　 A + B = log_T(x)とは T^(A+B) = x となるような A+Bのこと
だったから、
　　T^(A+B) = (T^A)(T^B) = ab = x
である。だから
　　A + B = log_T(ab)
なので
　　log_T(a) + log_T(b) = log_T(ab)
である。
　（割り算が引き算に化ける話も同様です。）

[4] さて、[2]の「満たすようにしてある」ってところがミソであるのはお分かりでしょう。でもこれって、どういうことか。そこがちょっと難しい。
[4-1]まずは、T>0について、「指数関数T^n = f(T,n) ただしnは正の整数に限定」というバージョンを定義します。具体的には
　　f(T,1) = T
　　f(T,n+1) = f(T,n) T （n≧1)
とやるんです。（f(T,n) = T×T×…×T (Tがn個）だなんてイーカゲンなのは、数学とは言わない。）
　そして、u,vが正の整数のとき
定理1-1. f(T,u+v) = f(T,u)f(T,v) (ただしT>0)
定理1-2. f(f(S,u),v) = f(S,uv) (ただしS>0)
を証明する。（vに関する数学的帰納法を使います。）
[4-2]f(T,n)を「指数関数T^n = g(T,n) ただしnは整数に限定」へと拡張したバージョンを定義します。「拡張する」というのは、
　　nが正の整数のときにはg(T,n)=f(T,n)
である、という意味です。そして、nが正でない整数の場合についてもg(T,n)を、以下の定理2-1,2-2が成り立つように決めてやる。
そして、u,vが整数のとき、
定理2-1. g(T,u+v) = g(T,u)g(T,v) (ただしT>0)
定理2-2. g(g(S,u),v) = g(S,uv) (ただしS>0)
が確かに成り立っていることを証明する。
[4-3]g(T,n)を「指数関数T^n = h(T,n) ただしnは有理数nに限定」へと拡張したバージョンを定義します。以下の定理3-1,3-2が成り立つようにするわけです。（有理数とは、ご存知でしょうけれど、n=p/q （pは整数、qは正の整数）で表せる数nのことです。）
そして、u,vが有理数のとき、
定理3-1. h(T,u+v) = h(T,u)h(T,v) (ただしT>0)
定理3-2. h(h(S,u),v) = h(S,uv) (ただしS>0)
が確かに成り立っていることを証明する。
[4-4] h(T,n)を「指数関数T^n = p(T,n) ただしnは実数」へと拡張したバージョンを定義します。以下の定理4-1,4-2が成り立つようにするわけです。
そして、u,vが実数のとき、
定理4-1. p(T,u+v) = p(T,u)p(T,v) (ただしT>0)
定理4-2. p(p(S,u),v) = p(S,uv) (ただしS>0)
が確かに成り立っていることを証明する。

　中学の数学では、[4-3]まではなんとか行けるけれども、[4-4]は実数について深く知っている必要があるので、無理っぽいです。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/22 13:47

「対数の計算」のキーワードで 検索してみて下さい。

数多くのサイトが ヒットしますから、
その中から 複数のものを 読み比べて下さい。
沢山の公式や、その公式の説明がある筈です。
（但し 対数は高校の範囲ですから、
多少難しい表現があるかもしれません。）

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/22 05:46

対数の定義に立ち帰る。

対数と指数はお互いに逆演算。
10¹=10　⇔ log₁₀10=log₁₀10¹=1
10²=100　⇔ log₁₀100=log₁₀10²=2

10¹×10²=10¹⁺²
⇔
log₁₀(10¹×10²)=log₁₀10¹⁺²=1+2

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/22 01:10

「2の3乗」を「2^3」のように表します（テキスト文字だと、右肩の小さな数字は書けないので）。

2^3 × 2^2 = 8 × 4 = 32 = 2^5 = 2^(3 + 2)

のように、

　A^a × A^b = A^(a + b)　　　①

となるのはわかりますか？

同様に、

2^3 ÷ 2^2 = 8 ÷ 4 = 2 = 2^1 = 2^(3 - 2)

のように、

　A^a ÷ A^b = A^(a - b)　　　②

となるのはわかりますか？

これを
　x = A^a
　y = A^b
とすれば、対数の定義から、対数の「底」を [ ] で書いて
　a = log[A](x)　　　③
　b = log[A](y)　　　④
になります。

このとき
　z = A^(a + b) = A^a × A^b = x･y
も、対数の定義から
　a + b = log[A](z) = log[A](x･y)
となりますね。
③④を使って a, b を書き換えれば
　log[A](x) + log[A](y) = log[A](x･y)
となりますよ。

②の式を使えば「割り算の対数」が「対数の引き算」になることもすぐわかりますね。

No.1 回答者： くんこば 回答日時： 2020/11/22 00:36

対数とは、かける回数、だからでしょ？