オンライン健康相談、gooドクター

対数の足し算が掛け算、引き算が割り算になる理由を教えてください。
(対数を独学で勉強中の中学生です。)

gooドクター

A 回答 (5件)

完璧に理解するのは中学の数学では無理じゃないかと思います。

(高校数学でもちょっと怪しいんじゃないかなー。)

 ですが、概要は理解できると思います。

[1] TをT>0, T≠1を満たす定数だとします。
底がTの対数関数log_T(x)とは、指数関数 T^y (Tのy乗)の逆関数のこと。つまり
  y = log_T(x)とは、T^y = x となるような yのこと
である。
[2] 指数関数 T^y は T>0の場合に定義してあって、
  T^(a+b) = (T^a)(T^b)
  (T^a)^b = T^(ab)
を「満たすようにしてある」。
[3] だから、
  A= log_T(a), B=log_T(b)
とすると、
  a = T^A, b = T^B
である。ここで
   A + B = log_T(x)とは T^(A+B) = x となるような A+Bのこと
だったから、
  T^(A+B) = (T^A)(T^B) = ab = x
である。だから
  A + B = log_T(ab)
なので
  log_T(a) + log_T(b) = log_T(ab)
である。
 (割り算が引き算に化ける話も同様です。)

[4] さて、[2]の「満たすようにしてある」ってところがミソであるのはお分かりでしょう。でもこれって、どういうことか。そこがちょっと難しい。
[4-1]まずは、T>0について、「指数関数T^n = f(T,n) ただしnは正の整数に限定」というバージョンを定義します。具体的には
  f(T,1) = T
  f(T,n+1) = f(T,n) T (n≧1)
とやるんです。(f(T,n) = T×T×…×T (Tがn個)だなんてイーカゲンなのは、数学とは言わない。)
 そして、u,vが正の整数のとき
定理1-1. f(T,u+v) = f(T,u)f(T,v) (ただしT>0)
定理1-2. f(f(S,u),v) = f(S,uv) (ただしS>0)
を証明する。(vに関する数学的帰納法を使います。)
[4-2]f(T,n)を「指数関数T^n = g(T,n) ただしnは整数に限定」へと拡張したバージョンを定義します。「拡張する」というのは、
  nが正の整数のときにはg(T,n)=f(T,n)
である、という意味です。そして、nが正でない整数の場合についてもg(T,n)を、以下の定理2-1,2-2が成り立つように決めてやる。
そして、u,vが整数のとき、
定理2-1. g(T,u+v) = g(T,u)g(T,v) (ただしT>0)
定理2-2. g(g(S,u),v) = g(S,uv) (ただしS>0)
が確かに成り立っていることを証明する。
[4-3]g(T,n)を「指数関数T^n = h(T,n) ただしnは有理数nに限定」へと拡張したバージョンを定義します。以下の定理3-1,3-2が成り立つようにするわけです。(有理数とは、ご存知でしょうけれど、n=p/q (pは整数、qは正の整数)で表せる数nのことです。)
そして、u,vが有理数のとき、
定理3-1. h(T,u+v) = h(T,u)h(T,v) (ただしT>0)
定理3-2. h(h(S,u),v) = h(S,uv) (ただしS>0)
が確かに成り立っていることを証明する。
[4-4] h(T,n)を「指数関数T^n = p(T,n) ただしnは実数」へと拡張したバージョンを定義します。以下の定理4-1,4-2が成り立つようにするわけです。
そして、u,vが実数のとき、
定理4-1. p(T,u+v) = p(T,u)p(T,v) (ただしT>0)
定理4-2. p(p(S,u),v) = p(S,uv) (ただしS>0)
が確かに成り立っていることを証明する。

 中学の数学では、[4-3]まではなんとか行けるけれども、[4-4]は実数について深く知っている必要があるので、無理っぽいです。
    • good
    • 1

「対数の計算」のキーワードで 検索してみて下さい。


数多くのサイトが ヒットしますから、
その中から 複数のものを 読み比べて下さい。
沢山の公式や、その公式の説明がある筈です。
(但し 対数は高校の範囲ですから、
多少難しい表現があるかもしれません。)
    • good
    • 0

対数の定義に立ち帰る。


対数と指数はお互いに逆演算。
10¹=10 ⇔ log₁₀10=log₁₀10¹=1
10²=100 ⇔ log₁₀100=log₁₀10²=2

10¹×10²=10¹⁺²

log₁₀(10¹×10²)=log₁₀10¹⁺²=1+2
    • good
    • 1

「2の3乗」を「2^3」のように表します(テキスト文字だと、右肩の小さな数字は書けないので)。



2^3 × 2^2 = 8 × 4 = 32 = 2^5 = 2^(3 + 2)

のように、

 A^a × A^b = A^(a + b)   ①

となるのはわかりますか?

同様に、

2^3 ÷ 2^2 = 8 ÷ 4 = 2 = 2^1 = 2^(3 - 2)

のように、

 A^a ÷ A^b = A^(a - b)   ②

となるのはわかりますか?

これを
 x = A^a
 y = A^b
とすれば、対数の定義から、対数の「底」を [ ] で書いて
 a = log[A](x)   ③
 b = log[A](y)   ④
になります。

このとき
 z = A^(a + b) = A^a × A^b = x・y
も、対数の定義から
 a + b = log[A](z) = log[A](x・y)
となりますね。
③④を使って a, b を書き換えれば
 log[A](x) + log[A](y) = log[A](x・y)
となりますよ。

②の式を使えば「割り算の対数」が「対数の引き算」になることもすぐわかりますね。
    • good
    • 0

対数とは、かける回数、だからでしょ?

    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

このカテゴリの人気Q&Aランキング