(2)において解答では(an+1)-(an)≧0から求めているのですが(an+1 )/(an)≧1か

(2)において解答では(an+1)-(an)≧0から求めているのですが(an+1 )/(an)≧1から求めることはできないのですか？

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/11/22 20:13

訂正

2.が変でした。帰納法によらずとも
　a[n+1]/a[n]=p+(-1)ⁿ/a[n]
　②から、(-1)ⁿ/a[n]≧-1/a[n]≧-1 だから
　a[n+1]/a[n]≧p-1≧1
　となり、命題は成立。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/11/22 19:41

n≧2 の場合、求められます。

a[n+1]=pa[n]+(-1)ⁿ
a₁=0, a₂=1, a₃=p-1
a₃/a₂=(p-1)/1≧1 → p≧2・・・・①
したがって、少なくとも、①が必要なので、以下では①が成立する
とする。

1.　a[n]≧1 (n≧2) ・・・・・②　の証明
　n=2のときは自明。
　nの時成立を仮定すると、n+1のとき
　a[n+1]=pa[n]+(-1)ⁿ≧2・1+(-1)≧1
　したがって、明大が成立。

2. a[n+1]/a[n]≧1 ・・・・・③　の証明
　n=2のとき、a₃/a₂=(p-1)/1≧(2-1)/=1 で成立。
　nのとき、③の成立を仮定すると、n+1のとき
　a[n+1]/a[n]=p+(-1)ⁿ/a[n]
　②から、(-1)ⁿ/a[n]≧-1/a[n]≧-1 だから
　a[n+1]/a[n]≧p-1≧1
　となり、命題は成立。

以上から、①が成り立てば、③が n≧2 で成立。

No.2 回答者： sankaku_neko 回答日時： 2020/11/22 18:23

あまり深く考えてませんが、(an+1)>0かつan<=0の場合があり得るから、(an+1 )/(an)≧1を仮定するのはダメなんじゃないでしょうか。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/22 18:19

初項が0だから、比のa[n+1]/a[n]≧1ではダメだね。