解答方針が立てられなくて数学ができない

Question

高校生です。
問題集の例題や教科書に載っている問題などの、基本的な問題はすらすらと解けるのですが、入試問題などの発展的な問題になると解けなくなってしまいます。
答えなどを見ればどうやって解く理解できるのですが、ノーヒントでポンと出されると解答方針が思いつかないです。
例えば数Bの漸化式で、a(n+1)=a(n)+(定数のn乗)だったら、両辺を定数のn+1乗で割ってb(n)=a(n)/nと置けば特性方程式を用いて解けることはわかるし、両辺を定数のn+1乗で割るのはa(n)/nの形を導くためというのも理解はできます。しかし試験で初めてこの問題が出されると、定数のn+1乗で割るという方法が思いつかないし、b(n)=a(n)/nの形を導くという発想も出てこないです。
これはすごく極端な例ですが、式を変形して定理や知っている式の形にすることができなくて問題が解けない状態です。
当然入試ではそのような問題が必ず出てくるので、式変形などをぱっと思いつくようになりたいのですが、そうなるためにはやはり演習を積むしかないのでしょうか。
何かアドバイスやヒント、問題を解くにあたって気を付けたらよいことがあれば教えて欲しいです。

kairou · Accepted Answer

＞式を変形して定理や知っている式の形にすることができなくて・・・

ひょっとして 公式や定理を 丸暗記してませんか、
定理の中には 理屈抜きで覚えなければならないものもありますが、
公式も同じで 丸暗記では 応用性に欠けます。
殆どは 導入過程と一緒に 習った筈です。

文章問題では、同じ意味で 違った言い方を考えると
答えを出すヒントが 思い浮かぶことがあります。

更に 当たり前の事ですが、沢山の問題に
チャレンジすることではないでしょうか。

finalbento · Answer

「そんなうまい方法があるならオレが知りたい」と一番思っているのが恐らくプロの数学者だと思います。数学者は解く方法を誰も知らない、と言う以前に解けるかどうかも分からない問題に挑んでいるわけですから、うまい方法なんてそうそうありません(cf:方程式で言えば「解けない」と言う事が証明されているものがほとんどだそうです)。置換積分法では「こんな形の関数にはこんな置換」と言うのがある程度出てはいますが、基本的には問題に数多く当たって勘を養うしかありません。それにもしも「こうやればうまく解ける」と言う方法があったら数学がつまらなくなると思います。

tknakamuri · Answer

＞そうなるためにはやはり演習を積むしかないのでしょうか。

それしかないです。最初からスマートな解法を思いつく人はいません。
様々な道具の使い方と組み合わせ方を覚えて慣れて
ゆくしかありません。また慣れれば慣れるほど頭が数学に慣れて
習得速度も速くなってゆきます。

そういうことをしつこく行い、しつこく考えてかつ飽きず
楽しむことができる心が無いと、数学は続かないと思います。

多分。

ありものがたり · Answer

言われたことを言われたとおりに作業することはできるが
自分で考えて工夫することはできないというのであれば、
将来的にそういう頭の使い方に適する職業に就くのがよい
のではないでしょうか？ そのためには、あるいは受験して
大学へ進学する必要自体がないのかもしれません。

yhr2 · Answer

場数を踏んで、問題のパターンや、出題者の意図（何をさせようとしているか、何に引っかけさせようとしているなど）を「想像」できるようになることが必要だと思います。

大学入試などの問題では、前の方にある小問が、後ろのやや難しい小問の「ヒント」あるいは「着眼点」になっていることも多いです。
それも一種の「出題者の意図」なので、そういう「出題者が考えそうな流れ」みたいなものに慣れておくことも必要なのだと思います。
問題集をたくさんこなしてみる、自分が目指す大学の「過去問」を解いてみる、という「実地訓練、ケーススタディ」をやってみてはいかがでしょうか。

解答方針が立てられなくて数学ができない

＞式を変形して定理や知っている式の形にすることができなくて・・・

「そんなうまい方法があるならオレが知りたい」と一番思っているのが恐らくプロの数学者だと思います。

＞そうなるためにはやはり演習を積むしかないのでしょうか。

言われたことを言われたとおりに作業することはできるが

場数を踏んで、問題のパターンや、出題者の意図（何をさせようとしているか、何に引っかけさせようとしているなど）を「想像」できるようになることが必要だと思います。

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