群数列について。

次のような群数列を考える。1、 1／2、 1／2、 1／4、 1／4、 1／4、 1／4、、、、
この時第1000項までの和を求めよ。
この問題をご教授願いたいです。すみません。

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/04 15:52

1=1/1 とみなせば

第一グループは1/1 が１こ
第2グループは1/2　が２こ
第3グループは　1/4が４こ
という群数列（グループ数列）なんでしょうね・・・
で、お気づきの通り各グループに所属する分数の個数はその分母に等しいです
また　グループナンバーが１上がると分母の数は2倍になるという規則性を持っています
このことから、第nグループを構成する分数は　1/2^(n-1)で
その個数は2^(n-1)個だと言えます

これを踏まえて、１グループ目から、ｎグループまでに含まれる分数の個数は
1+2+4+8+・・・+2^(n-1)
ですが、これは初項１、公比２、項数ｎの等比数列の和なんで
等比数列の和の公式(・・・公式はテキスト参照）により
1+2+4+8+・・・+2^(n-1)＝1(2^n-1)/(2-1)=(2^n)-1

同様に考えるか、単にnをn-1に置き換えれば
１グループ目から、ｎ-1グループまでに含まれる分数の個数は
1+2+4+8+・・・+2^(n-2)=2^[n-1]-1

次にグループ分けする前の第1000項はグループ分け後第nグループに
所属しているものとすると
ｎ-1グループまでに含まれる分数の個数＜1000項≦ｎグループまでに含まれる分数の個数
なので
2^[n-1]-1<1000≦2^[n]-1
⇔2^[n-1]<1001≦2^[n]・・・①
2^9=512
2^10=1024
だから①を満たすｎは　n=10
すなわち　1000項は１０グループに所属すると判明

そしたら、1000項は10グループの何番目にあるのか調べる
１グループ目から、9グループまでに含まれる分数の個数は
1+2+4+8+・・・+2^(9-1)=2^[9]-1=512-1=511
ゆえに　1000項は　第１０グループの　1000-511=489番目
(グループ分けするまえの512項目が第10グループの先頭の分数で
そこから数えて　グループ分けするまえの1000項は第10グループの489番目）

ところでｎグループは　1/2^(n-1) が2^(n-1)個で構成されているので
nグループに所属する分数の和は
{1/2^(n-1)}x2^(n-1)=1
つまり各グループとも、所属する分数すべてをたすと１になるということ
なので１～９グループ目までに所属している分数の総和は
1x9=9　（←←←グループ分けするまえの、１項目から511項目までの和）

また　第１０グループに属する分数が
1/2^(10-1)＝1/512だから
第１０グループの先頭から489番目までの和は
(1/512)x489
=489/512　（←←←512項目から1000項目までの和）

以上から　
求めるべき和
=1項目から511個目までの和+512項目から10０項目までの和
=９+(489/512)
（約分可能かどうかは自分で調べてみてください）

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/12/04 14:05

「次のような群数列」と云われても、

条件の項が少なすぎて 分かりません。
分数は この後 (1/6) が 6個続くのですか？（偶数が続く）。
又は (1/8) が8個続くのですか？（2倍になっていく）。
それとも (1/16) が 16個続くのですか？（二乗になっていく）。

事情を知らない人に 聞くのですから、
詳しく書かないと 気持ちが伝わりませんよ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/04 08:43

前回の

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12055148.html
もそうだったが、例示が少なすぎて、規則性がちゃんと伝わらない。
第８項は、いったい何なのか？

No.2 回答者： ryomame 回答日時： 2020/12/04 05:03

分母が2^nで、それが2^n個続きます。

1/2^nが続いて、x項目で初めて1/2^(n+1)になるとき、x=2^(n+1)
1000項以下で1番大きなxは、512 =2^9
511項目までの和は、1+(1/2*2)+(1/4*4)+…+(1/256*256)=9
512項目から1000項目までの和は、1/512*(1000-511)=489/512
よって、1000校目までの和は、9と489/512

で、合ってるかな？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/04 04:34

群[k]の項数が2^(k-1)個で、項はどれも1/(2^(k-1))、というのが 群[1], 群[2], … と並んでる、って話ですと、群[1]〜群[k]までの項数の総和S[k]は

　　S[k] = (2^k)-1
ですから
　　S[k]≦1000＜S[k+1]
となるkは9であり、
　　S[9] = 511
なので、残り1000-511 = 489個の項が1/(2^9) である。つまり
　　9 + 489/512
が答。（同工異曲はつまらんなあ。）