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【青チャート/空間ベクトルの内積】
赤の内積の計算部分は、何故青で囲った公式を使っていないのですか?
これだと普通の掛け算になってしまいますよね...

https://naop.jp/topics/topics18.html
こちらのサイトにも、ベクトルには積が無いと書かれてありますし、下記の事から『ベクトルの内積』と『ベクトルの掛け算』は少し意味が違うので、『ベクトルの内積』≠『ベクトルの掛け算』という事ですよね。
分かる方、何故この様な計算になるのか教えてください。


《ベクトルの内積》
ベクトルの内積▶答えがスカラー(線型代数学で言う、ベクトル空間のベクトルに対比するものとしての実数)
《ベクトルの掛け算》
平面ベクトルの掛け算▶答えも平面ベクトル(になるはず)
空間ベクトルの掛け算▶答えも空間ベクトル(になるはず)
(※この様にはならない。つまりベクトルの掛け算という物は無い)

「【青チャート/空間ベクトルの内積】 赤の」の質問画像
gooドクター

A 回答 (2件)

ベクトルとは大きさと向きを持った量のことですよね


対して、向きは持たず大きさだけを持った量のことを「スカラー」といいます
で、ベクトルの積にはベクトル積と、スカラー積の2種類があって
前者は外積とよばれ、後者が内積です
ベクトルの積にはその結果がベクトルになるものと、スカラーになるもの
の2種類があるのです
ちなみに 表記の仕方は
外積が (→a)x(→b) というように 「x」記号を使うのに対して
内積は (→a)・(→b)と言うように 「・」で表すという区別があります
(ただし、外積、ベクトル積については高校では習いません)

で、高校範囲でもありますし、この問題では外積(貴方が言うベクトルの掛け算)とは全くの無関係です
(以下、ベクトルの矢印は省略)
OA=a で
計算結果から
OD=(2/3)b+(1/3)cのようですので
青で囲った公式の登場は後にとっておいて
OA,ODに代入を行って
OA・OD=a・{(2/3)b+(1/3)c} としただけなのです
というのも、OA・OD=|OA||OD|cosθが適用できれば良いんですが
|OD| すなわちODの長さってわかっていますか?
OAとODのなす角θ も不明ですよね(計算すれば求まるのかもしれませんが現時点では不明ですし、面倒なんで私はこれらを求めにはいきません)
不明なものが2つもあっては |OA||OD|cosθが計算できないということになってしまうんです
そういうときに、模範解答のようにOA,ODを置き換え(代入)
というのはよく行われる手段なんです
以下ベクトルの演算法則に従って
OA・OD=a・{(2/3)b+(1/3)c}
=(3/2)a・b+(1/3)a・c (←←←模範解答は1/3をくくりだしているが 
              この形でも同じこと)
と変形できるので
この段階になって初めて青囲み公式の登場というわけです
a・c=1/2はすぐそばに書かれているから省きますが
青囲み利用で
a・b=|a||b|cosθ=1x1xcos60=1/2なんで
(3/2)a・b+(1/3)a・c
の続きの計算が可能というわけです
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この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。
ありがとうございました!

お礼日時:2020/12/05 21:56

内積を表す式は、代表的なものが2つあります。


ベクトルの成分表示を使った赤丸の公式と、
幾何学的な量を使った青丸の公式です。
内積がこの2通りに書けることが
成分表示と幾何学量とを関係づけるのですが、
単に内積の値を求めるには、どちらを使ってもよくて
代入する値がそろうほうの公式を使えばいい。
今回の場合、必要な値が手元にそろうのは
どちらの公式ですか? ...そういうことです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2020/12/05 21:56

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