問題の解法を教えてください

問

a'2+b'2=100
となる組み合わせを全て求めよ

────────────────
modを使うと、どうなるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/06 09:05

(1)

任意の複素数 a について、
b を √(100 - a'2) の一方の値とすればよい。

(2)
任意の実数 θ について、
a = 10 cosθ; b = 10 sinθ とすればよい。

(3)
対称性より、10 ≧ a ≧ b ≧ 0 としても一般性を失わない。
そのような解 (a,b) に対して
(a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a) も解になる。
この範囲の整数 (a,b) は 66組ある。
たった 66組なので、総当り代入してみれば全解が得られる。

(3’’) こっちがオススメ
|a|, |b| ≦ 10 であることはすぐ判る。
この範囲の平方数は a'2 = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 に限られる。
b'2 = 100 - a'2 = 100, 99, 96, 91, 84, 75, 64, 51, 36, 19, 0 となるが、
このうち b'2 = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 になっているものは
(a'2,b'2) = (0,100), (36,64), (64,36), (100,0) だけである。

(3’) これが質問への回答
0 ≦ a, b としても一般性を失わない。
a'2 + b'2 ≡ 0 (mod 4) に
a ≡ 0,1; b ≡ 0,1 (mod 2) を代入してみると、
成立するのは a ≡ 0; b ≡ 0 (mod 2) の場合だけである。
a = 2A; b =2B と置くと、問題の式は A'2 + B'2 = 25 となる。
再度 A'2 + B'2 ≡ 1 (mod 4) で考えると、成立するのは
A ≡ 0; B ≡ 1 (mod 2) または A ≡ 1; B ≡ 0 (mod 2) の場合だけである。
ここでA ≡ 0; B ≡ 1 (mod 2) としても一般性を失わない。
A = 2α; B = 2β+1 と置くと、問題の式は α'2 + β'2 + β = 6 となる。
0 ≦ a, b ≦ 10 より候補は α = 0,1,2; β = 0,1,2 に絞られるから、
この 9組を総当りで代入してみると、解は (α,β) = (0,2), (2,1)、
すなわち (a,b) = (0,10), (8,6) である。
対称性より、(a,b) = (10,0), (6,8) および、各成分に ±1 を掛けたものも解である。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

Modだけならず、平方数と合計数100の関係性から求める方法があるなんて脱帽です

解答ありがとうございました

お礼日時：2020/12/06 12:58

No.2 回答者： あかにまかはゎつかさら 回答日時： 2020/12/06 00:35

書くのが面倒ですからかきませんでしたが、どうせ2乗するのでaとbが負の値もとるとしても特に変わりません。

負の方も答えになります

No.1 回答者： あかにまかはゎつかさら 回答日時： 2020/12/06 00:33

こんな感じで解いてみました

この回答へのお礼

解答ありがとうございました。



Modではありませんでしたが、参考になりました

色々な方法があるのですね、ありがとうございました

お礼日時：2020/12/06 13:00