方程式にバーをつけることができる理由を教えてください。

「５ｘ＾2＋２ｘ＋1＝0が虚数Ｚを解に持つとき、Ｚバーも解にもつことを証明せよ」
という問題で、方程式の両辺にいきなりバーをつけることができるのはなぜなのでしょうか。
基本的な質問で申し訳ありません。

No.3 ベストアンサー 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/06 23:02

x=0ならばxバー=0です。

今、虚数(一般には複素数)zが与えられた方程式の解だから、
5z^2+2z+1=0より(5z^2+2z+1)バー=0
これは5(zバー)^2+2(zバー)+1=0と変形できるので、zバーも解になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/12/07 19:28

No.5 回答者： drmuraberg 回答日時： 2020/12/07 17:32

＜方程式の両辺にいきなりバーをつけることができる＞

どういう意味ですか。

簡単な証明です。

二次方程式を一般的に
　ax^2 + bx + c =0　　　と表すと、解は
　x = ｛-b ±　√(b^2-4ac)｝/2a　　で与えられる。

この解が虚数Zである為には、√の中が負でなければならないので、
ある正の数αを使って次の様に書く。
　b^2 -4ac =-1*α^2

これを解に代入すると
　x = ｛-b ±　√(-1)*α｝= -b ± iα

Zを上の解の一つ -b ＋ iαとすれば、Zバーは -b -iαであり解となる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/12/07 19:24

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/07 00:59

共役複素数は、和と積を保ちます。

バー(a+b) = バー(a) + バー(b),
バー(ab) = (バー(a)) (バー(b))　です。
また、a = b なら バー(a) = バー(b) も成り立ちます。
これを繰り返し適用すると、
方程式 0 = Σ[k=0..n] (c_k) x^k は
バー(0) = 0，
バー( Σ[k=0..n] (c_k) x^k ) = Σ[k=0..n] バー( (c_k) x^k )
　　　　　　　　　　　　= Σ[k=0..n] (バー(c_k)) (バー(x))^k
と変形できます。
方程式の係数 c_k がみな実数なら、バー(c_k) = c_k ですから、
結局、0 = Σ[k=0..n] (c_k) (バー(x))^k です。 これは、
x と バー(x) が同じ実係数代数方程式の解であることを示しています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/12/07 19:28

No.2 回答者： あかにまかはゎつかさら 回答日時： 2020/12/06 22:54

両辺が複素数として等しいから、共役をとったものも当等しいということです。

a,b,c,dを実数として
左辺=a+bi
右辺=c＋di
の形に表せるとします。
この時、左辺=右辺⇔a=cかつb=d…①です。
共役を取れば(ばーをつければ)
左辺=a-bi
右辺=c-di
当然①なのでこれも左辺=右辺は成り立っていますよね

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/12/07 19:28

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/06 22:51

＞方程式の両辺にいきなりバーをつけることができる

どういう意味ですか？