Aをネーター環とします。A加群の準同型φ:A^n -> M (Mはx1,...,xnを基底とする有限

解決済

質問者：たかはやら
質問日時：2020/12/09 17:09
回答数：1件

Aをネーター環とします。A加群の準同型φ:A^n -> M
(Mはx1,...,xnを基底とする有限生成A加群)をφ(ei)=xiとする(eiはA^nの標準基底とする)。この時、kerφが有限生成なA加群であることを示してください。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (1件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.1ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2020/12/09 18:09

Aは、ネーター環でなくても一般の単位的可換環でよいのでは？

x, y ∈ Kerφ だとすると、任意の a, b ∈ A に対して
φ(ax+by) = aφ(x) + bφ(y) = a0+ b0 = 0.
すなわち ax+by ∈ Kerφ. このことは、
Kerφ が A^n の部分加群であることを表している。

有限次自由加群の部分加群は有限次自由加群だから、
Kerφ は有限次自由加群。つまり有限生成である。