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Aをネーター環とします。A加群の準同型φ:A^n -> M
(Mはx1,...,xnを基底とする有限生成A加群)をφ(ei)=xiとする(eiはA^nの標準基底とする)。この時、kerφが有限生成なA加群であることを示してください。

A 回答 (1件)

Aは、ネーター環でなくても一般の単位的可換環でよいのでは?



x, y ∈ Kerφ だとすると、任意の a, b ∈ A に対して
φ(ax+by) = aφ(x) + bφ(y) = a0+ b0 = 0.
すなわち ax+by ∈ Kerφ. このことは、
Kerφ が A^n の部分加群であることを表している。

有限次自由加群の部分加群は有限次自由加群だから、
Kerφ は有限次自由加群。つまり有限生成である。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時:2020/12/09 18:31

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