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【数学】一次関数、二次関数、三次関数、四次関数・・・とあると思うんですが、一次関数より二次関数の方が傾きは大きいと思います。(a>0の時)でも、二次関数にも一次関数より傾きが小さいところがあります。例えば二次関数よ傾きがマイナスだったらそれが言えます。
ここで、一般にどこでn+1次関数がn次関数より大きくなるとかわあるのでしょうか?また、どのように求めるなどのやり方はありますか?

gooドクター

A 回答 (6件)

y=ax^nを考える。


一般的な、y=ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+....
については考えない。
a=1の場合で比較。xは0からだんだん正に大きくなる場合を想定します。
xのn乗を微分すると、その係数はnですよね。
y'=nx^(n-1)
x^(n-1)が1/nで傾きが1。
1次関数とn次関数とを比べると、x=x^(n-1)のときに傾きが同じになり、そこから傾きを増してそのうち追いつき追い越すわけです。
当たり前ですが、1のn乗は1ですので、x=1のときに追いつきます。
これは、n-1乗とn乗とn+1乗とでどれも同じです。
n次関数とn+1次関数の傾きを比べると、
y'=nx^(n-1)
y'=(n+1)x^(n)
これが等しくなるxの値は、
nx^(n-1)-(n+1)x^(n)=0
=nx^(n-1)-(n+1)・x・x^(n-1)
={n-(n+1)x}・x^(n-1)
冒頭の通りx>0だからx^(n-1)≠0
∴n-(n+1)x=0
x=n/(n+1)
=(n+1-1)/(n+1)
1-1/(n+1)
のところで傾きが並び、以後は次数の多い方が傾きが大きい。

あなたが聞きたいことがなんなのか、文章が酷くて理解できませんが、例えばこんな辺りは。
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一次関数は グラフに書くと 直線ですから、


傾きは 常に一定です。
二次関数以上になると グラフでは 曲線になりますので、
変化の割合(接線の傾き)は x の値によって すべて異なります。
n次関数では プラスからマイナス 又はその逆に 何回も 繰り返します。
又 それぞれの 次数の係数によって 変わりますから
一般的に 云う事は出来ません。
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f(x) を最高次の係数が正な n 次関数,


g(x) を最高次の係数が正な m 次関数,
n > m とすると、
「x が十分大きいとき」 f(x) > g(x) です。
lim[x→+∞] f(x) - g(x) = +∞,
lim[x→+∞] f(x) / g(x) = +∞ でもあります。

この「十分大きい」というのは、何か定数 c があって
x > c ならば f(x) > g(x) が成り立つ...という意味です。
方程式 f(x) = g(x) の実数解は多くても n 個ですから、
最大の解よりも大きい値に定数 c をとれば十分です。

そのような c の下限を求めるためには
n 次方程式 f(x) = g(x) を実際に解かねばならず、
n ≧ 5 の場合には解の厳密な値が判るとは限りません。
成り立つような c をひとつ見つけるだけなら、
勘でどうにかできる場合が多いでしょうけれども。
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f[n](x)=a[n]xⁿ


(f[n+1](x))'-(f[n](x))'={(n+1)a[n+1]x-na[n]}xⁿ⁻¹>0

x>0 とすると
{(n+1)a[n+1]x-na[n]}>0 → x>na[n]/{(n+1)a[n+1]}

たとえば、x²,x のとき、x>1/2
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1次関数と、2次以上の関数の最大の違いは、1次関数は傾きが一定で2次以上の関数は傾きが変数で変化すること。



例えば、1次関数f(x)=x、2次関数f(x)=x^2はf(x)=xはどのようなxであっても傾きは1だが、f(x)=x^2はxの値によって傾きは変化する。
x<1の範囲ではf(x)=x^2はf(x)=xよりも傾きは小さくなる。

一般にn次関数の傾きを求めるには微分する。
傾きは次数の係数にも依存するため、n+1次関数がn次関数の傾きの大小比較は単純に論じれない。
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質問者さんの意味がよくわかりません。

一般に,一次関数は直線,二次関数は放物線を描きます。
三次関数以上は,よくわかりませんが・・・
二次関数の傾き?というのは,接線の傾きということですか?
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