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スカラー場の勾配に回転がない理由と、ベクトルの回転には発散がない理由を教えて下さい。

宜しく御願いします。

gooドクター

A 回答 (4件)

ベクトル場の回転というのは、直感的には次のものである。



向きがおそろいの2つのベクトルがある。
ひとつは A
ひとつは A+δ

これらの間に水車を置く。
すると、水車は回転を始める。
AよりA+δの方が速度は速く、その分水車の羽を強く押すからである。

この水車の回転が「rot」である。
そしてrotの結果は、水車の軸方向のベクトルとなって現れる。
たとえば電場に対する磁場である。

後半の質問はパス。

次の本をお勧めする。
講談社ブルーバックスで売っているはず。
・長沼伸一郎『物理数学の直感的方法』
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>どちらも純粋に数学的な恒等式。



地道にやるとこうなります。
普通演習でやらされます。

rot grad f
= rot((∂/∂x)f, (∂/∂y)f, (∂/∂x)f)
=((∂/∂y)(∂/∂x)f - (∂/∂x)(∂/∂y)f,
(∂/∂z)(∂/∂x)f - (∂/∂x)(∂/∂z)f,
(∂/∂x)(∂/∂y)f - (∂/∂y)(∂/∂x)f = (0, 0, 0)
但し、全ての2階の偏導関数が存在して連続な場合
#偏微分の順番が入れ替え可能になる条件


f = (fx, fy, fz) として
div rot f =div((∂/∂y)fz-(∂/∂z)fy, (∂/∂z)fx-(∂/∂x)fz, , (∂/∂x)fy-(∂/∂y)fx)
= (∂/∂x)(∂/∂y)fx - (∂/∂x)(∂/∂z)fy + (∂/∂y)(∂/∂z)fx-(∂/∂y)(∂/∂x)fz
+ (∂/∂z)(∂/∂x)fy-(∂/∂z)(∂/∂y)fx = 0
但し、全ての2階の偏導関数が存在して連続な場合

物理だと但し書きの条件は通常無視してかまいません。
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付けたし



で、スカラー場には向きがない。
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どちらも純粋に数学的な恒等式。


地道に定義通り偏微分を行なえば
0になることを確認するのは簡単です。
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