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Dをデデキント環としてKをその商体、L/Kを有限次分離拡大、OをDのLでの整閉包とするときOがデデキント環となることを示したいです。
Oの0でない素イデアルBの極大性について教科書には

P=B∩DとするとPはDの素イデアルとなります。
 
またO/Bは体D/Pの拡大環となります。故にO/Bが0でない素イデアルを持つとするとO/B∩D/PはD/Pの0でない素イデアルとなり矛盾するからO/Bは体となる。

という証明が載っていました。ここで疑問があります。


 

O/Bが体でないと仮定すると
O/Bが
{O/B≠J≠{0},1∈O/B-J}となるような
素イデアル
J
を持つから
J∩(D/P)

D/Pの0でない素イデアルとなり
D/Pが‎体である事に
矛盾するから

O/Bは体となる。

と言いたいのですがJ∩(D/P)≠0と言える理由が分かりません。どなたか教えてください。

一年ほど前にこの証明を教えていただき、納得したのですが再度まとめていてこの部分が引っかかりました。

A 回答 (2件)

Dをデデキント環


Kをその商体
L/Kを有限次分離拡大
OをDのLでの整閉包
BをOの0でない素イデアル
P=B∩D
O/B≠J≠{0}
だから
J⊃B⊃P
J≠B⊃P
だから
x∈J-B⊂O⊂L
x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(0)=0 (a(k)∈D)
となる
x,{a(k)}_{k=0~n-1}
がある
a(0)∈(J-B)∩D=(J∩D)-P
だから
a(0)+P∈J∩(D/P)≠{0}

J∩(D/P)≠{0}
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Dをデデキント環


Kをその商体
L/Kを有限次分離拡大
OをDのLでの整閉包
BをOの0でない素イデアル
P=B∩D
O/B≠J≠{0}
だから
J⊃B⊃P
J≠B⊃P
だから
J≠P
だから
J∩(D/P)≠{0}

J∩(D/P)={0}を仮定すると
J⊂P⊂B⊂J
J=Bとなって
J≠Bに矛盾する
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