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∫∫_R^2 1/(x^2+y^2+1)^2 dxdy
計算苦手なのでどなたか途中式を含めて教えていただけると幸いです。

「∫∫_R^2 1/(x^2+y^2+1)」の質問画像

A 回答 (2件)

これだけ露骨に被積分関数が x^2+y^2 の関数だと、


普通に極座標変換したくなるよね?
x = r cosθ, y = r sinθ, r ≧ 0 で変数変換すると、
∬[R^2] 1/(x^2+y^2+1)^2 dxdy
= ∬[R^2] 1/(r^2+1)^2 rdrdθ
= ∫[0≦θ<2π] ∫[0≦r<+∞] r/(r^2+1)^2 dr dθ
= { ∫[0≦r<+∞] r/(r^2+1)^2 dr }{ ∫[0≦θ<2π] dθ }
= { ∫[0≦s<+∞] (1/2)(s+1)^-2 ds }{ ∫[0≦θ<2π] dθ } ; s = r^2
= (1/2){ lim[s→+∞] -(s+1)^-1 - ( -(0+1)^-1 ) }{ 2π - 0 }
= (1/2){ - 0 + 1 }{ 2π }
= π.
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原点から半径r、幅drの円リングをr=0~∞までの積分に


変換すると
∫[0→∞] 2πrdr/(r²+1)²・・・・・r²+1=xと変換すると 2rdr=dx
=∫[0→∞] πdx/x²=π[-1/x][∞,1]=π
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