No.2ベストアンサー
- 回答日時:
これだけ露骨に被積分関数が x^2+y^2 の関数だと、
普通に極座標変換したくなるよね?
x = r cosθ, y = r sinθ, r ≧ 0 で変数変換すると、
∬[R^2] 1/(x^2+y^2+1)^2 dxdy
= ∬[R^2] 1/(r^2+1)^2 rdrdθ
= ∫[0≦θ<2π] ∫[0≦r<+∞] r/(r^2+1)^2 dr dθ
= { ∫[0≦r<+∞] r/(r^2+1)^2 dr }{ ∫[0≦θ<2π] dθ }
= { ∫[0≦s<+∞] (1/2)(s+1)^-2 ds }{ ∫[0≦θ<2π] dθ } ; s = r^2
= (1/2){ lim[s→+∞] -(s+1)^-1 - ( -(0+1)^-1 ) }{ 2π - 0 }
= (1/2){ - 0 + 1 }{ 2π }
= π.
No.1
- 回答日時:
原点から半径r、幅drの円リングをr=0~∞までの積分に
変換すると
∫[0→∞] 2πrdr/(r²+1)²・・・・・r²+1=xと変換すると 2rdr=dx
=∫[0→∞] πdx/x²=π[-1/x][∞,1]=π
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