大学数学、微分の問題ですが、この解答を教えていただきたいです！！！

大学数学、微分の問題ですが、この解答を教えていただきたいです！！！

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/19 15:42

n=1のとき、連鎖律から成立は自明。

以下では面倒なのでzは略す。

(d/dt)ⁿ=(h∂x+k∂y)ⁿ
＝Σ[r=0→n] nCr h^(n-r) k^r (∂/∂x)^(n-r) (∂/∂y)^r・・・①
のことである。

(d/dt)ⁿ⁺¹=(d/dt)(d/dt)ⁿ=(h∂x+k∂y)(h∂x+k∂y)ⁿ
=(h∂x+k∂y){Σ[r=0→n] nCr h^(n-r) k^r (∂/∂x)^(n-r) (∂/∂y)^r}

=Σ[r=0→n] nCr h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r
+Σ[r=0→n] nCr h^(n-r) k^(r+1) (∂/∂x)^(n-r) (∂/∂y)^(r+1)

=Σ[r=0→n] nCr h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r
+Σ[r=0→n] nCr h^(n+1-(r+1)) k^(r+1) (∂/∂x)^(n+1-(r+1)) (∂/∂y)^(r+1)

右辺第２項を r+1→r と変換すると

=Σ[r=0→n] nCr h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r
+Σ[r=1→n+1] nC(r-1) h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r

=Σ[r=1→n] nCr h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r
+Σ[r=1→n] nC(r-1) h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r
+h^(n+1)(∂/∂x)^(n+1)+k^(n+1)(∂/∂y)^(n+1)

=Σ[r=1→n] {nCr+nC(r-1)} h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r
+h^(n+1)(∂/∂x)^(n+1)+k^(n+1)(∂/∂y)^(n+1)

(n+1)Cr=nCr+nC(r-1) だから

=Σ[r=1→n] (n+1)Cr h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r
+h^(n+1)(∂/∂x)^(n+1)+k^(n+1)(∂/∂y)^(n+1)
=Σ[r=0→n+1] (n+1)Cr h^(n+1-r) k^r (∂/∂x)^(n+1-r) (∂/∂y)^r

となり、帰納法により、①が成立。