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-dc/dt=kCを積分してC=C0・e^-ktにする過程を詳しく教えてください
積分が苦手なので、わかりやすくお願いしますm(_ _)m

A 回答 (3件)

もともとはどんな式なのですか?


積分定数の C, C0 とごっちゃになるので、変数を X で書くと

 -dX/dt = kX

ということですか?
原子核の放射性崩壊における原子核数や、コンデンサーの放電のときの電圧みたいな現象を表す微分方程式ですね。

通常は
 dX/dt = -kX
と表わしますが。

これを解けば、「変数分離」して積分すれば
 ∫(1/X)dX = ∫(-k)dt

左辺は「1/X の積分」なので公式から、右辺は定数の積分で
 log|X| = -kt + C1 (C1:積分定数)
「log」は自然対数なので、
 X = ±e^(-kt + C1) = ±e^C1 ・ e^(-kt)
ここでさらに定数を
 ±e^C1 = C0
と書けば
 X = C0・e^(-kt)
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!

お礼日時:2020/12/22 12:56

No.1 です。

ちょっと補足。

最後の式
 X = C0・e^(-kt)
にするときに、いかにも場当たり的に「定数を ±e^C1 = C0 と書けば」と書きましたが、もちろん物理的・数学的には
 t=0 のとき X=C0
という「初期条件」ということでもあります。
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この回答へのお礼

補足までありがとうございます!

お礼日時:2020/12/22 12:56

cは積分定数などと混乱するので、とりあえずxを使います。



-dx/dt=kx
∫(1/x)dx=-k∫dt
logx=-kt+c
x=e^(-kt+c)=Ce^(-kt)  (e^c=Cとしてます)

更に初期状態(c(0)=C₀)を入れると、∫定数から派生したCは C₀ となるのではないかと推測されます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!

お礼日時:2020/12/22 12:56

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