-dc/dt=kCを積分してC=C0・e＾-ktにする過程を詳しく教えてください 積分が苦手なので、

-dc/dt=kCを積分してC=C0・e＾-ktにする過程を詳しく教えてください
積分が苦手なので、わかりやすくお願いしますm(_ _)m

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/22 12:04

もともとはどんな式なのですか？

積分定数の C, C0 とごっちゃになるので、変数を X で書くと

　-dX/dt = kX

ということですか？
原子核の放射性崩壊における原子核数や、コンデンサーの放電のときの電圧みたいな現象を表す微分方程式ですね。

通常は
　dX/dt = -kX
と表わしますが。

これを解けば、「変数分離」して積分すれば
　∫(1/X)dX = ∫(-k)dt

左辺は「1/X の積分」なので公式から、右辺は定数の積分で
　log|X| = -kt + C1　（C1：積分定数）
「log」は自然対数なので、
　X = ±e^(-kt + C1) = ±e^C1 ･ e^(-kt)
ここでさらに定数を
　±e^C1 = C0
と書けば
　X = C0･e^(-kt)

この回答へのお礼

ありがとうございました！！

お礼日時：2020/12/22 12:56

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/22 12:13

No.1 です。

ちょっと補足。

最後の式
　X = C0･e^(-kt)
にするときに、いかにも場当たり的に「定数を ±e^C1 = C0 と書けば」と書きましたが、もちろん物理的・数学的には
　t=0 のとき X=C0
という「初期条件」ということでもあります。

この回答へのお礼

補足までありがとうございます！

お礼日時：2020/12/22 12:56

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/12/22 12:06

cは積分定数などと混乱するので、とりあえずｘを使います。

-dx/dt=kx
∫(1/x)dx=-k∫dt
logx=-kt+c
x=e^(-kt+c)=Ce^(-kt)　　（e^c=Cとしてます）

更に初期状態（c(0)=C₀）を入れると、∫定数から派生したCは　C₀　となるのではないかと推測されます。

この回答へのお礼

ありがとうございました！！

お礼日時：2020/12/22 12:56