複素数体 C の 2 つの部分環 Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} (ただし,

複素数体 C の 2 つの部分環
Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} (ただし, i = √−1)
と
Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}
を考える. このとき, Z[i] と Z[√2] は (環として) 同型でないことを示せ.

どなたか途中式を含めて解答してもらえると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/22 14:54

Z[i] には、方程式 x^2+1=0 の解 x = i があるが、

Z[√2] には、(a+b√2)^2+1>0 だから x^2+1=0 の解が無い。
同型写像で i が移る先が Z[√2] には無いことになる。