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統計学

全国に支店を展開するパンのチェーン店がある。このチェーン店ではアンパンを1 個105gで作ることになっている。支店A は、本部からアンパンが1 個105g で作られていないのではないかと指摘されているが、支店長は「うちではきちんと105g にしています」と言っている。そこで本部の調査部が支店A のアンパン26 個を無作為に選び、重さを量ったところ、平均 x¯ = 106(g)、標準偏差 s = 2(g) であった。支店長の言い分は認められるか。

(1) 支店長の言い分が正当であるかを検討するためには、次の1 ∼ 5 のうち【4】を想定するのが適切である。
  (1)全支店のアンパンの平均の重さは105g である。
(2)全支店のアンパンの平均の重さは106g である。
(3)この支店のアンパンの平均の重さは105g である。
(4)この支店のアンパンの平均の重さは106g である。
(5)この支店のアンパンの平均の重さは105g ではない。

(2) ここで t 検定を行うとき、この観測値から算出される検定統計量の値は?
①106-105/2/√25
 ②106-105/2/√26
  ③106-105/4/25
  ④106-105/4√26
⑤106-105/4/√26

(3)支店A の支店長の言い分を考察するためにアンパンの重さの平均について 
   95%信頼区間を構成したい。次の1 ∼ 5 のうちから最も適切な95%信頼区間
   は?

①105±2.060×2/√25
②105±1.708×2/√25
③106±2.060×2/√26
④106±1.706×2/√26
⑤106±2.060×√2/26

(4) 有意水準5%で(2) の検定統計量であるt 値を用いて仮説検定を行った結果と
    して、次の1 ∼ 5 のうちから最も適切なものは?

①自由度25 のt 分布の上側確率2.5%に対するt 値と比較すると、(2) で求めた統計量の値の方が大きいので、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する。すなわち、全支店のアンパンの重さの基準である105g より重いので、支店長の言い分はおかしいと結論する。

②自由度25 のt 分布の上側確率2.5%に対するt 値と比較すると、(2) で求めた統計量の値の方が小さいので、帰無仮説を棄却されず、全支店のアンパンの重さの基準である105g と変わりないことになり、支店長の言い分は認められる。

③自由度25 のt 分布の上側確率2.5%に対するt 値と比較すると、(2) で求めた統計量の値の方が大きいので、帰無仮説を棄却され、全支店のアンパンが107g ということになる。すなわち、支店長の言い分はおかしいと結論する。

④標準正規分布の上側確率2.5%に対するZ 値と比較すると、(2) で求めた統計量の値の方が大きいので、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する。すなわち、支店長の言い分は認められる。

⑤標準正規分布の上側確率2.5%に対するZ 値と比較すると、(2) で求めた統計量の値の方が小さいので、帰無仮説を棄却されず、支店長の言い分は認められる。

gooドクター

A 回答 (2件)

ふつうのパン屋であれば、要求するのは「アンパンを1 個105gで作る」ということなのだけど、管理値としては「105 g 以上で作る」ということなのではないかな?(未満では「量が不足」と言われるが、多い分には客からのクレームは来ないはず)


ただし、この問題ではどうやら「平均が 105 g になるように作れ」ということらしい。
それでよいのかどうかは別として、ということは検定すべきは「A支店のアンパンの平均の重さは105g である」ということになる。

>(1) 支店長の言い分が正当であるかを検討するためには、次の1 ∼ 5 のうち【4】を想定するのが適切である。

の「【4】」って何? 検定すべき仮説は
「この支店のアンパンの平均の重さは105g である」
でしょう?

>(2) ここで t 検定を行うとき、この観測値から算出される検定統計量の値は?

「平均 x¯ = 106(g)、標準偏差 s = 2(g) であった」と書かれている「標準偏差 s = 2(g)」が通常の意味での標準偏差だとすると
 (106 - 105)/(2/√25) = 2.5
でしょう。
あなたの式の書き方がいい加減ですが、おそらく選択肢では①。

もし、「標準偏差 s = 2(g)」が、そんな言葉はないのだけれど「不偏標準偏差」(二乗偏差和を サンプル数 - 1 の「25」で割った「不偏分散」の平方根)だとすると、
 (106 - 105)/(2/√26) ≒ 2.55
になるかな。
多分こちらではないでしょう。

>(3)最も適切な95%信頼区間は?

これは、要するに「26個のサンプルから、支店A のアンパン全体(母集団)の平均値の範囲を推定する」という意味かと思います。
26個のサンプルから推定される「母集団の平均」の95%信頼区間は「自由度25のt分布」の「両側 5%」の値を読み取れば
 2.0595
なので、
 106 ± 2.0595 × 2/√25
(選択肢では、「2.0595」を「2.060」としている)

↓ t分布表
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/td.htm

これは、数値しては
 105.18 ~ 106.82
ということになります。

>(4)仮説検定を行った結果として、次の1 ∼ 5 のうちから最も適切なものは?

上記の(2)の t 値が、「自由度25のt分布」の「両側 5%」の値「2.0595」よりも大きい(つまり分布の「外側」の確率の低い側にある)ということから、
「この支店のアンパンの平均の重さは105g である」
と仮定するなら、26個のサンプルが
「平均 x¯ = 106(g)、標準偏差 s = 2(g) 」
という値になる確率は 5% 以下であり、そんな稀なことが起こるのは「おかしい」(有意である)と判定する。

同様に、26個のサンプルから得られた(3)の「母集団の平均の95%信頼区間」の中には、「この支店のアンパンの平均の重さは105g であるはず」という値「105 g」が入っていない。

以上からは、最初に仮定した「この支店のアンパンの平均の重さは105g である」ということは信頼度95%(有意水準 5%)で「言えない」という結論になる。

選択肢の中に、正しいものはなさそう。
しいて言えば①が一番近そうだが、「帰無仮説だ対立仮説だ」などとそこまで何も言っていないし。
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変なこと教えてる教師がいるのは困ったもんです。

ご質問の場合、「「うちではきちんと105g にしています」を認める」とはどういう意味か、を明確にしないで論じても何の意味もない。だから問題として成立していません。
 仮に

> 「うちではきちんと105g にしています」

を字義通りに解釈するのなら、誤差なしということはあり得ないのだから、この主張が誤りなのは調べるまでもない。実際、

> 支店A のアンパン26 個を無作為に選び、重さを量ったところ、平均 x¯ = 106(g)、標準偏差 s = 2(g) であった。

のだから、「きちんと105g に」なっていないのは明らか。この「問題」はそもそもおかしな話です。

> 対立仮説を採択

 Pearson-Neymanの検定法において「対立仮説」と比較されるのは「検定仮説」。Pearson-Neymanの検定法の致命的欠陥を指摘・修正したFisherの検定法では「帰無仮説」を使う(「対立仮説」なんてものは出る幕なし)。「帰無仮説」は棄却される(否定される)か、されない(無に帰す)か、であり、「帰無仮説」が棄却された時に主張するのは「帰無仮説の否定」であって、それは「対立仮説」じゃない。
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