数学 三角関数の問題です。 計算途中に波線部の分数がどこから来たのか教えて下さい。 □に入る数字を求

数学 三角関数の問題です。
計算途中に波線部の分数がどこから来たのか教えて下さい。
□に入る数字を求めています。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/26 23:58

θ+(3/4)π　のままではややこしいので

一旦、θ+(3/4)π=tと置く
すると　0≦θ≦π　なら　全体に(3/4)πをたして
(3/4)π≦θ+(3/4)π≦(7/4)π
⇔(3/4)π≦t≦(7/4)π
この範囲で、√2sin(θ+(3/4)π)=√2sin(t)　の最小を考えても結果は同じ
√2は係数なんで　最小に影響を及ぼすのはsintの部分！
そこでsintだけを対象に考えを進める
sintの最小を見極めるのに多くの人が用いるのは単位円
単位円の説明は以下の通り（・・・実際に図を書きながらこの解説を読んだほうが理解は深丸と思う！）
単位円とは原点Oが中心の半径１の円のことで
その円周上に点P(x,y)をとる
ｘ軸の正の方向(OX)から反時計回りに角度tの位置にある半径OPを考えるとき（・・・当然ながら半径1の円の半径なんでOP=1)
三角関数の定義（テキストなど参照）から
cost=x (xとはPのｘ座標のこと）
sint=y(yとはPのy座標のこと）
tan(t)=(y/x)
となる

今回は sint 、ただしｔの範囲は　(3/4)π≦t≦(7/4)π
の最小を考えるので
特に　sint=yに着目する！！

OXから反時計回りに角度tの位置に半径OP(Pの座標は(x,y))があるとき
sint=y（Pのｙ座標)なのだから
tの角度が最も小さい　t=(3/4)πのときの点Pはそのｙ座標が
sin(3/4)π=y
つまり
Pのy座標=-1/√2となる
で,角度tを増していくとOPはさらに反時計回りに回転していくことになるので　点Pは円周上を反時計回りに回転していく
その位置の変化を見ていくと、Pのｙ座標は次第に小さくなり
t=(3/2)πで　Pのy座標は最小の-1となることが分かる
その後さらに角度を増していくと、OPはさらに反時計回りに回転して
Pも円周上をさらに反時計回りに回転していくから
Pのy座標は-1を過ぎた後は増加に転じ
t=(7/4)πの位置までOPが回転したときには
Pのy座標は-1/√2まで増加することが分かるはず
このことから、(3/4)π≦t≦(7/4)πの範囲で　sintの最小値は-1とわかり
そうなるのはt=(3/2)πの時であることが把握できる
これは　θに話を戻せば
sint=sin(θ+(3/4)π)が最小となるのは
θ+(3/4)π＝t=(3/2)πの時という意味だから
sin(θ+(3/4)π)が最小値をとるのは、θ+(3/4)π=(3/2)πの時だと書かれているわけです

もし　単位円の考え方がわからなければ仕方ないので
テキストなどに載っている、y=sintのグラフを参照する！
すると　グラフのy座標をみて(3/4)π≦t≦(7/4)πの範囲では
y座標が最も低い（最小となる）位置となるのは　t=(3/2)πの位置であることが分かるはず

No.3 回答者： タムシバ 回答日時： 2020/12/26 20:27

sinθの単位円を想い浮かべてください。

円周上の点は（cosθ，sinθ）で表せます。
sinθはＹ座標の値ですから，-1≦sinθ≦1
よって
-√2≦√2sin{θ+(3/4)π}≦√2
また
（3/4)π≦θ+(3/4)π≦(7/4)πより
θ+(3/4)πが270°＝(3/2)πのとき，最小値-√2を得る。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/26 19:41

(√2)sin[θ + (3/4)パイ]

が「最小」になるのは
　(√2)sin[θ + (3/4)パイ] = -√2
になるとき、つまり

　θ + (3/4)パイ = (3/2)パイ

のときですよね？

sinA = -1 になるのは（このとき sinA は最小）
　A = (3/2)パイ
のときですから。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/12/26 19:40

X=θ + (3/4)πとすると、sinX=-1がsinの最小値になる。

このときのXはX=(3/2)π

よって、X=θ + (3/4)π=(3/2)π