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パーセバルの公式がいまいち分かりません。
f(x)=-1(-π<x≤0),1(0<x≤π)
となるとき、フーリエ展開は求めることができたのですがそこから先がよく分かりません。パーセバルの公式の左側の式を求める場合、(-π<x≤0),(0<x≤π)で場合分けをして求めると2になります。
右側の式では二乗するとn部分が(-1)の二乗となるので右側が0となり2=0となってしまいおかしいです。
色々なサイトを見てもよく分からなかったので教えて頂きたいです。

A 回答 (4件)

「(n=2m-1)(mは自然数,m=1,2,3,....)を付け加える感じ」がどういうものなのかよくわからんのだけど,


・Σ に「n が奇数」という条件をつける
・n=2m-1 で置き換えて m に対して和をとる
のどちらかがふつうじゃないかな.

あと形としてはそこから π^2/8 を掛けるのもよくあるけどそのへんは「なにをしたいのか」による.
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それなら「右側が 0」とはならないよね.



結果はどうなる?
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この回答へのお礼

2=Σ[n=1,∞]16/(n²π²)つまり、1=Σ[n=1,∞]8/(n²π²)ですか?nが奇数の場合しか成立たないのでその場合は(n=2m-1)(mは自然数,m=1,2,3,....)を付け加える感じで良いですか?

お礼日時:2020/12/27 20:50

「n」を使わないで b1 を書いたらいくつになりますか? そしてその 2乗は?



同じことを b2~b5 くらいでやったらどうなる?
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この回答へのお礼

偶数の場合は0,奇数の場合は4/(nπ)となり、b1は4/πとなり、ニ乗は16/π²、b2は0で、b3は4/(3π)で二乗は16/9π²。b4は偶数なので0,b5は4/(5π)となり16/25π²になると思いました。

お礼日時:2020/12/27 12:50

かくにん.



フーリエ展開の結果はどうなっている? パーセバルの公式の「左側の式」とか「右側の式」ってなに?
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この回答へのお礼

an=0
bn=2/nπ(1-(-1)ⁿ)
となりました。
パーセバルの公式は左側は
1/π∫[-π,π]f²dxのことを言っていて、[-π,0]でfが-1のときとと[0,π]のときとで積分をしたら2になりました。
また、右側はa0/2+Σ[n=1,∞](an²+bn²)で、anは奇関数で0になるためbnの二乗。Σをしない状態で計算すると(2/nπ(1-(-1)ⁿ))²で、(-1をどのようにしていいかわからずその部分だけ二乗だと(-1)²ⁿとなり1になるため1-1=0となり、成立たないのでおかしいことに気が付きました。

お礼日時:2020/12/27 01:46

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