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高校数学です 教えてください


三角形ABCにおいて、角A=60、BC=√6、CA=2のとき、次の問いに答えなさい。

(1)と(2)で、sinB=1/√2と角B=45度、概説縁の半径R=√2は出しています。

(3)辺ABの長さを求めなさい。
(4)cos Cを求めなさい。

(3)(4)の二つを教えてください!

A 回答 (4件)

数学2で三角関数の単元を履修済みの人は


加法定理:sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
を用いれば簡単に求められます

C=180-A-B=75なんで
sinC=sin75=(sin30+45)
=sin30cos45+cos30sin45
=(1/2√2)+(√3/2√2)
=(√2+√6)/4
これさえ分かれば 正弦定理で(3)が
基本公式:sin²θ+cos²θ=1から(4)が求められますよね
(4)は加法定理で
cos75=cos(30+45)=cos30cos45-sin30sin45を計算するのも良いです

数2未修の場合は
(3)は余弦定理で
BC=a,CA=b,AB=cとおくと
余弦定理により 
a²=b²+c²-2bccosA
数値を当てはめると 6=4+c²-4cos60°xc
⇔c²-2c-2=0
解の公式で
c=1±√(1²+2)
⇔c=1+√3=AB (1-√3はマイナスなので辺の長さとして不適)

(4)
(3)の答えを利用して正弦定理・余弦定理などで答えが出ます
余弦利用なら
c²=(1+√3)²=4+2√3
(もしくは、c²-2c-2=0より c²=2c+2=2(1+√3)+2=4+2√3)
を用いて
cosC=(a²+b²-c²)/2ab
={6+4-(4+2√3)}/(2x√6x2)
=(6-2√3)/(2x2x√6)
=2(3-√3)/(2x2x√6)
=(3-√3)/(2x√6)
={(3-√3)x√6)}/(2x√6x√6)
=(3√6-3√2)/(2x6)
=3(√6-√2)/(2x6)
=(√6-√2)/4
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(3) CからABに垂線CPをひく。


△CAPは60°の直角三角形より
AP:CA:CP=1:2:√3
CA=2からAP=1、CP=√3
△CPBはCP=BPの直角二等辺三角形より
CP=BP=√3
AB=AP+BP
AB=1+√3

(4)
∠ACP=30°、∠BCP=45°より
cos∠C=cos(30+45)
     =cos30cos45-sin30sin45
     =√3/2×√2/2-1/2×√2/2
     =√6/4-√2/4
     =(√6-√2)/4
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(3)について,


正弦定理で AB の長さを求めようとすると B = 75° の正弦の値が必要になって,
数学Ⅰの知識だけで解くのは難しくなります.
ここは余弦定理を用いましょう.

まず,A = 60° とわかっているので,
 cos A = cos 60° = 1/2
と計算できますね.
余弦定理の式の中でこの値が登場するものといえば,
 BC^2 = CA^2 + AB^2 - 2 * CA * AB * cos A
という式です.
そこで,問題で与えられている値をこの式に代入すると,
 6 = 4 + AB^2 - 2 * 2 * AB * (1/2),
すなわち
 AB^2 - 2 AB - 2 = 0
という2次方程式が得られます.
後は,この方程式を(条件 AB > 0 に注意して)2次方程式の解の公式を使って解けばよいわけです.

(3)が解ければ,(4)はどうにでもなりますね.
再び余弦定理を使ってもよいですし,
正弦定理で sin C を求めてからそれを基に計算してもよいでしょう.
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(3)正弦定理より、


    AB/sinC=2R
   ∴ AB/sin(180°-60°-45°)=2×√2
   ∴ AB=2√2×sin75°
   ∴ AB=2√2×sin(30°+45°)
   ∴ AB=2√2×(sin30°cos45°+cos30°sin45°)
   ∴ AB=2√2×(1/2・1/√2+√3/2・1/√2)
   ∴ AB=1+√3

(4)(3)より、sin75°=1/2・1/√2+√3/2・1/√2
          =(1+√3)/2√2
   ここで、sin²75°=(4+2√3)/8 だから、
    sin²θ+cos²θ=1
   より、
    (4+2√3)/8+cos²75°=1
    cos²75°=(4-2√3)/8
   ∴ cos75°=(√3-√1)/2√2 (∵ cos75°>0)
   ∴ cosC=(√6-√2)/2

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間違えてたらごめんね★
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