三角関数

sin^3θ＋cos^3θ＝11/16（－90度≦θ≦0度）のとき
sinθ、cosθ、tanθの値を求めるんですけど、わからなくて困っています。どうやるのか教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： Noy 回答日時： 2005/02/10 19:16

こんにちわ。

受験生です。ちょっと、といてみました。。
sinθ=a, cosθ=bとおく。
－90°≦θ≦0°より、-1≦a≦0, 0≦b≦1

（与式の左辺）=sin^3θ＋cos^3θ=a^3+b^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=(a+b)(1-ab)　---(*)
（∵sin^2θ＋cos^2θ＝a^2+b^2＝1）

ここで、(a+b)^2=a^2+2ab+b^2より、
ab=((a+b)^2)-1/2
∴(*)=(a+b)(1-((a+b)^2)-1/2)
=(a+b)((3/2)-((a+b)^2)/2)

∴（与式）⇔(-1/2)(a+b)^3+(3/2)(a+b)-(11/16)=0
A=a+bとすると、
8A^3-24A+11=0
(A-(1/2))(8A^2+4A-22)=0
ここで、A=a+b=sinθ+cosθ=(√2)sin(θ+45°)
－45°≦θ+45°≦45°より、-1≦(√2)sin(θ+45°)≦1
∴-1≦A≦1
よって、A=1/2

よって、a=(1/2)-bとなる。これを、与式の左辺に代入すると、
((1/2)-b)^3+b^3=11/16
＜＜計算省略＞＞
b=cosθ=(1+√7)/4
∴a=sinθ=(1-√7)/4
よって、tanθ=sinθ/cosθ=(√7-4)/3

となる。＜終＞

計算ミスはご容赦ください…。。

PS　休憩のつもりでネットしてたのに、結局数学やってる俺でした。笑

No.3 回答者： k_train_9999 回答日時： 2005/02/10 13:11

　＃１、＃２の方のやり方でａとｂをまず求めて

　ａ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ　ｂ＝ｃｏｓθｓｉｎθとして
　まず、－90°≦θ≦０°　なので　０≦ｃｏｓθ≦１，－１≦ｓｉｎθ≦１、（ｃｏｓθ）＾２＋（ｓｉｎθ）＾２＝１・・・(1)
　与式＝ａ＾３－３ａｂ＝１１／１６
　(1)より平方完成をして　ａ＾２－２ｂ＝１
　ところで、ａ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ　ｂ＝ｃｏｓθｓｉｎθ　で　ｃｏｓθ、ｓｉｎθ　を求めたいわけです。
　2次方程式の解と係数の関係を用いると
　ｃｏｓθ、ｓｉｎθは
　ｘ＾２－ａｘ＋ｂ＝０の解になります。
　ａ，ｂを代入して方程式を解けば解は出ます。
　ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθ　ででます。
もし、半角の公式や、三角関数の加法定理を知らなければこういう風に解けばいいです。
　

No.2 回答者： partita 回答日時： 2005/02/10 01:10

>sin^3θ＋cos^3θ＝11/16

(sinθ)^3+(cosθ)^3=11/16ですか？

#1さんの言うとおりに式を立てると、
a^3-3ab=11/16
a^2-2b=1
が出てきて、
a=1/2、b=-3/8

b=sinθcosθ=sin2θ/2だから
sin2θ=-3/4
これから
cos2θを出してcosθ、sinθを出して…。

No.1 回答者： leige 回答日時： 2005/02/09 20:42

a=sinθ+cosθ

b=sinθcosθ
とおいてみる。