1桁の自然数全体を全体集合Uとし、Uの部分集合A、Bについて A∩B=｛2、5}、Ā ∩ Bバー=｛

1桁の自然数全体を全体集合Uとし、Uの部分集合A、Bについて A∩B=｛2、5}、Ā ∩ Bバー=｛6、9}、Ā∩B=｛4、8}が成り立つ時

(1)集合A∩Bの要素の個数n(A U B) を求めよ。

(2)集合Aの要素の個数n(A)を求めよ。

高校の数学Aの集合の問題です。解答と途中式を詳しく教えて頂きたいです

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2020/12/30 23:02

(1)集合A∩Bの要素の個数n(A U B) を求めよ。

　
集合A∩Bの要素の個数　だと　ｎ(Ａ∩Ｂ)　になるが･･････


Ā ∩ Bバー=｛6、9}が
Aの補集合∩Bの補集合＝{６,９}　のことだと思って

（１）
U={１,２,３,４,５,６,７,８,９}

(A∩B)∪(Aの補集合∩B)＝B　だから
B={２,５}∪{４,８}＝{２,４,５,８}

Aの補集合＝(Aの補集合∩B)∪(Aの補集合∩Bの補集合)
　　　　　＝{４,８}∪{６,９}
　　　　　＝{４,６,８,９}
だから
A＝(Aの補集合)の補集合
　＝{１,２,３,５,７}　　　（U－Aの補集合）

これより
A∩B＝{２,５}
よって
ｎ(Ａ∩Ｂ)＝２


ｎ(Ａ∪Ｂ)　を求めるのであれば
Ａ∪Ｂ＝{１,２,３,４,５,７,８}
だから
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝７

（２）
（１）より
ｎ(Ａ)＝５

この回答へのお礼

わかりやすいですありがとうございました！！

お礼日時：2020/12/31 16:19

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/12/31 05:20

(1) ドモルガンの法則より、(A∪B)バー=(Aバー)∩(Bバー)

n(AUB)=n(U)－n((A∪B)バー)
=n(U)－n( (Aバー)∩(Bバー) )
=9－2
=7（個）

(2) 集合Bの要素は、集合Aの要素であるものか集合Aの要素でないものかのどちらかに分類されます。集合 A∩B の要素は集合Bの要素でかつ集合Aの要素であるものです。集合 Ā ∩ B の要素は集合Bの要素でかつ集合Aの要素でないものです。
n(B)=n(A∩B)+n( (Aバー)∩B))
=2+2
=4（個）

n(AUB)=n(A)+n(B)－n(A∩B)
7=n(A)+4－2
n(A)=5（個）