数II 微分積分 問 f(x)= ∫[1,2] |t-x|dt これをxの式で表せ。 この問題の解き

数II 微分積分

問　f(x)= ∫[1,2] |t-x|dt これをxの式で表せ。

この問題の解き方が全く分かりません。
x≦1,1<x<2,2≦xの場合に分けて考えるそうなのですが、なぜそう分けて考えるのか分かりません。

初歩的な質問かも知れませんが詳しく教えて頂けたら嬉しいです。お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/02 13:48

t-x≧0 のとき、つまり、t≧x のとき、|t-x|=t-x

t-x≦0 のとき、つまり、t≦x のとき、|t-x|=-(t-x)=-t+x

[1] x≦1 のとき、
1≦t≦2 において、t≧x なので、
f(x)= ∫[1,2] |t-x|dt
= ∫[1,2] (t-x)dt
=[t²/2 - xt] [1,2]
=(2-2x)-(1/2-x)
=-x+3/2

[2] 2≦x のとき、
1≦t≦2 において、t≦x なので、
f(x)= ∫[1,2] |t-x|dt
= ∫[1,2] (-t+x)dt
=[ - t²/2 + xt] [1,2]
=(-2+2x)-( - 1/2+x)
=x-3/2

[3] 1<x<2 のとき、積分区間 1≦t≦2 の途中にｘがあるので、そこで区切ります。
1≦t≦x において、t≦x なので、|t-x|=-t+x
x≦t≦2 において、t≧x なので、|t-x|=t-x

これより、
f(x)= ∫[1,2] |t-x|dt
= ∫[1,x] (-t+x)dt +∫[x,2] (t-x)dt
=[ - t²/2 + xt] [1,x]+[t²/2 - xt] [x,2]
=( -x²/2+x²)-( - 1/2+x)+(2-2x)-(x²/2 - x²)
=x²/2 + 1/2 -x+2-2x +x²/2
=x²+x+5/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。解決しました！とても分かりやすかったのでベストアンサーに選ばさせて頂きました。ありがとうございました＾＾

お礼日時：2021/01/02 18:43

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/02 17:23

絶対値の外し方は

A > 0 のとき |A| = A
A < 0 のとき |A| = -A (>0)
A = 0 のとき |A| = A = -A (=0)

です。
その条件で絶対値を外してから積分する。

積分区間から
　1 ≦ t ≦ 2
であり、その条件で
　t - x
の条件分けをします。

t - x ≧ 0 となるのは
x ≦ t つまり x ≦ 1 または 1 < x ≦ t のとき

t - x < 0 となるのは
t < x つまり 2 ≦ x または t < x < 2 のとき

以上より
x ≦ 1 のとき |t - x| = t - x
1 < x < 2 のとき x ≦ t なら |t - x| = t - x
　　　　　　　　 t < x なら |t - x| = -(t - x) = -t + x
2 ≦ x のとき |t - x| = -(t - x) = -t + x

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2021/01/02 18:41