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空間の4点A(2,2,2),B(-2,-1,1),C(1,4,-1),D(3,-2,k)とせる。直線ABの方程式、および直線ABとCDが交わる時のkの値と、その交点の座標は?


求め方を教えて下さい!

A 回答 (2件)

直線の方程式とは、例えばy=2xなら これを満たす(1,2),(2,4)などの点の集まり(軌跡)が直線になっているということです


ベクトル方程式も同じこと
例えば→ABは始点がA終点がBの矢印として図示されますが
(1/2)(→)ABは始点がAで、終点はABの中点
2(→AB)=始点がAで終点はABを2:1に外分する点ですよね
これを踏まえて、
tを様々な実数値に変えて
→AP=t(→AB) …①を満たす点Pの位置を図示すれば
Pは直線ABのいずれかの位置に来る⇔tの値を少しずつ変更してその都度Pの位置を図示すれば直線ABを描く
これが直線のベクトル方程式の正体です
(ちなみに ①の式の始点をOに変更すすれば
(→OP)-(→OA)=t(→d)
⇔(→p)=(→a)+t(→d)…②という公式となります
ただし (p=OP,a=OA d=AB)

このことから 直線ABを表す式は
②形式で
OP=OA+t(AB)・・・ ベクトルの矢印は省略 ,tは実数
なので
媒介変数表示するなら
→a=(2,2,2)
→d=(-2,-1,1)-(2,2,2)=(-4,-3,-1)なんで
(→p)=(2,2,2)+t(-4,-3,-1) =(-4t+2,-3t+2,-t+2)・・・(成分表示)
より
x=-4t+2,y=-3t+2,z=-t+2・・・媒介変数表示
となりますから(ベクトル方程式でない)方程式にするなら
媒介変数表示からtを消去すれば完成です
xの式を変形で
-t=(x-2)/4
yの式から
-t=(y-2)/3
zから
-t=z-2
ゆえに
(x-2)/4=(y-2)/3=z-2   (=-t) を得ます・・・➂(答え)

なお、このことは公式化されているので導出が理解できたらテキスト等で公式を確認しておくと良いです

同様にしてCD上の動点Qを媒介変数表示で表す
(まぎらわしさを回避するために先ほどとのtは違う文字uを使う)
そうしたら、Qが2直線の交点の位置にある時を想定
媒介変数表示したQは➂上の点でもあることになるのだから
➂へ代入ここまでくれば解けるはず・・・
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2点A(a1, b1, c1),B(a2, b2, c2)を通る直線の方程式は



(x-a1)/(a2-a1)=(y-b1)/(b2-b1)=(z-c1)/(z2-z1)


なので

2点A,Bを通る直線の方程式は
(x-2)/(-2-2)=(y-2)/(-1-2)=(z-2)/(1-2)

(x-2)/-4=(y-2)/-3=(z-2)/-1
(x-2)/4=(y-2)/3=(z-2)/1

(x-2)/-4=(y-2)/-3=(z-2)/-1=s
とおくと
x=4s+2 y=3s+2 z=s+2 ・・・・・・ ①

2点C,Dを通る直線の方程式は
(x-1)/(3-1)=(y-4)/(-2-4)=(z+1)/(k+1)=t
とおけて
x=2t+1 y=-6t+4 z=(k+1)t-1 ・・・・・・ ②

2直線が交わるとき
①、②より
4s+2=2t+1
4s-2t=-1 ・・・・・・ ③

3s+2=-6t+4
3s+6t=2 ・・・・・・ ④

s+2=(k+1)t-1
s-(k+1)t=-3 ・・・・・・ ⑤

③、④より
s=-1/15 t=11/30
⑤に代入して
k=77/11

交点の座標は①より
(26/15, 9/5, 29/15)
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