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ある地域で、テレビの視聴者900人を無作為に選んだところ、そのうちの225人が、ある歌謡番組を視聴したという。この地域でのその歌謡番組の視聴率pを、信頼度95%で検定せよ。
やり方を教えてください!

A 回答 (4件)

「その番組を見た人の数」は、「見た」か「見ていない」かの二者択一であり、二項分布します。


その「期待値」は、真の視聴率を p、サンプルサイズ(調査人数)を n とすると
 E = np
「分散」は
 V = np(1 - p)
になります。

二項分布は、サンプルサイズ n が大きいときには「正規分布」で近似できます。平均が μ = np、分散の平方根である「標準偏差」は σ = √[np(1 - p)] になります。
これを「標準正規分布」(平均が 0、標準偏差が 1 の正規分布)に規格化するるには、変数を
 Z = (X - μ)/σ
で X (その番組を見た人数) → Z に変換します。
上の「二項分布」の値を使えば
 Z = (X - np)/√[np(1 - p)]    ①
となります。

今調べたいのは、「視聴率」ですから、「その番組を見た人数」を調査人数 n で割った
 x = X/n
です。
ということで、①の分母・分子を n で割って
 Z = (X/n - p)/√[p(1 - p)/n]    ②

「標準正規分布」で「信頼度95%」となる範囲は
 -1.96 ≦ Z ≦ 1.96
ですから(必要なら「標準正規分布表」で上側確率が「0.025」になる確率を調べてください)、信頼度 95% での視聴率の範囲は②を使って
 -1.96 ≦ (X/n - p)/√[p(1 - p)/n] ≦ 1.96
→ -1.96√[p(1 - p)/n] ≦ X/n - p ≦ 1.96√[p(1 - p)/n]
→ X/n - 1.96√[p(1 - p)/n] ≦ p ≦ X/n + 1.96√[p(1 - p)/n]   ③

ここで、上下限にも「p」を使わないといけませんが、これはサンプルから求めたサンプル比率 p' = 225/900 = 0.25 を使って近似して
 X/n - 1.96√[p'(1 - p')/n] ≦ p ≦ X/n + 1.96√[p'(1 - p')/n]   ④
で求めます。
この式に
 X/n = 225/900 = 0.25
 p' = 0.25
 n = 900
を使って
 0.25 - 1.96√[0.25(1 - 0.25)/900] ≦ p ≦ 0.25 + 1.96√[0.25(1 - 0.25)/900]
→ 0.25 - 0.0283 ≦ p ≦ 0.25 + 0.0283
→ 0.222 ≦ p ≦ 0.278
 
↓ 参考サイト
https://bellcurve.jp/statistics/course/9122.html
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#1です。



#2・3さんに1票!
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No.2 です。



#2 は、質問にある「信頼度95%で検定せよ」は「信頼度95%で推定せよ」の間違いであろうと「推定」して作成しました。

本当に「検定せよ」なら、#1 さんのおっしゃるような前提条件が必須です。
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企業で統計を推進する立場の者です。



帰無仮説・対立仮説は何ですか?

例えば全国平均は○○だったが、この地域だけそれよりも高視聴率だと言えるか、とか。
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