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n以下の素数の積は2∧(2nー3)以下である。(n≧2)ご教授下さい。すみませんが。

gooドクター

A 回答 (2件)

Q 2m-1 は、2m-1 以下の素数の積です。


Qm は、m 以下の素数の積です。
Pm は、m+1 以上 2m-1 以下の素数の積です。
Qm と Pm をつなげれば Q 2m-1 です。
よって、
Q 2m-1=Qm・Pm
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以前の質問で証明されたことを利用します。


[ n+1 以上 2n-1 以下 (n≧2) の素数の積を Pn とすると 、Pn≦2^(2n-2) ]

n以下 (n≧2) の素数の積を Qn とします。
Qn≦2^(2n-3) ……☆

数学的帰納法を利用して証明します。
(1) n=2 のとき、
Q₂=2、
2^(2・2 - 3)=2^(4-3)=2
よって、☆は成り立ちます。

(2) n=k のとき、☆が成り立つと仮定します。
Qk≦2^(2k-3)

n=k+1 のとき、
(ⅰ) k+1 が偶数のとき、k+1 は素数ではないので、
Q k+1=Qk≦2^(2k-3) <2^{2(k+1)-3}
(ⅱ) k+1 が奇数のとき、k+1=2m-1 とおくと(m:整数)
Q k+1
=Q 2m-1
=Qm・Pm≦2^(2m-3)・2^(2m-2)=2^(4m-5)=2^{2(2m-1)-3}=2^{2(k+1)-3}
よって、n=k+1 のときも☆は成り立ちます。

(1)、(2) より、数学的帰納法により、☆は成り立ちます。(n≧2)
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この回答へのお礼

なぜ、Qm・Pmを使ったのかが分かりません。ご教授下さい。すみませんが。

お礼日時:2021/01/10 09:17

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